高三上学期第一次模拟考试试题(数学理)

2016届高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据nxxx,,21的标准差锥体体积公式222121[()()()]nsxxxxxxn13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式VSh24SR343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第I卷A．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1zai()aR（i是虚数单位），3455ziz，则a（B）A.2B.2C.2D.122.设a=(,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ的值等于(C)A.-B.0C.-D.-13.已知命题1p：函数22xxy在R为增函数，2p：函数22xxy在R为减函数，则在命题1q：12pp；2q：12pp；3q：12pp和4q：12pp中，真命题是（C）A．1q，3qB．2q，3qC．1q，4q（D）2q，4q4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数,且在区间[0,)单调递增.若实数a满足212(log)(log)2(1)faffa,则a的最小值是（C）A．32B．1C．12D．25.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（A）A.cx?B.xc?C.cb?D.bc?6．下列说法错误的是（B）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；D．在回归分析中，2R为0.98的模型比2R为0.80的模型拟合的效果好.7.g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零点的个数为(B)A.0B.1C.2D.3若x,y满足约束条件2211yxyxyx且目标函数2zaxy仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（B）8.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(D).A.15B.35C.710D.9109.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1等于(C)A.8B.4C.2D.110.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）A．B．C．D．11.已知双曲线2222:1xyCab满足彖件：（1）焦点为12(5,0),(5,0)FF；（2）离心率为53，求得双曲线C的方程为(,)0fxy.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为(,)0fxy，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（B）①双曲线2222:1xyCab上的任意点P都满足12||||||6PFPF；②双曲线2222:1xyCab的虚轴长为4；③双曲线2222:1xyCab的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；④双曲线2222:1xyCab的渐近线方程为430xy.A．1个B．2个C．3个D．4个12.设函数f(x)=ex(x3-3x+3)-aex一x（x≥-2），若不等式()fx≤0有解．则实数a的最小值为(C)A．2e—1B．2一2eC．1-1eD．1+2e2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。B．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}.14.已知函数()fx=2sin(π+x)sin(x+3）的图象关于原点对称，其中(0,)，则函数.则.615.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||3||,BOCOAOxAByAC当时，则x-y=.-216.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为.4021三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．而sinB≠0，所以cosB=12，及0＜B＜π，得B=．（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面ABD平面BCD；（Ⅱ）求二面角DABC的余弦值．解：（Ⅰ）平面ADC⊥平面ABC，且ACBC,,BCACD平面即,ADBC又,,ADCDADBCD平面平面ABD平面BCD（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系设平面ABD和平面ABC的法向量分别是111222,,,,,,xyzxyzmn22000200002022CADB，，，，，，，，，，，AD220,22，，22,0.AB，由0,0ADABmm解得1,1,1,m0,0,1,n3cos..3mnmnmn二面角ABDC的余弦值为33.19.（本小题满分12分）某生物产品，每一生产周期成本为10万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：产量（吨）3050概率0.50.5市场价格（万元/吨）0.61概率0.40.6（Ⅰ）设X表示1生产周期此产品的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若连续3生产周期，求这3生产周期中至少有2生产周期的利润不少于20元的概率．解：（Ⅰ）设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“作物市场价格为0.6万元/吨”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X40208P0.30.50.2（Ⅱ）设Ci表示事件“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=40）+P（X=20）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3生产周期的利润均不少于20的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3生产周期的利润有2生产周期不少于20的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，（本小题满分12分）20.如图，已知圆:G222(2)xyr是椭圆22116xy的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求圆G的半径r;（Ⅱ）过点(0,1)M作圆G的两条切线交椭圆于EF，两点，证明：直线EF与圆G相切．．G解:（Ⅰ）设B02,ry（），过圆心G作GDAB于D,BC交长轴于H由GDHBADAH得02636yrrr,即066rryr(1)……………2分而B02,ry（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616rrrrry(2)由(1)、(2)式得2158120rr,解得23r或65r（舍去）……………4分(Ⅱ)设过M(0,1)与圆224(2)9xy相切的直线方程为:1ykx(3)则221231kk,即2323650kk(4)解得12941941,1616kk……………6分将(3)代入22116xy得22(161)320kxkx,则异于零的解为232161kxk设111(,1)Fxkx,222(,1)Exkx，则121222123232,161161kkxxkk则直线FE的斜率为：221112211231164EFkxkxkkkxxkk……………9分于是直线FE的方程为:2112211323231()1614161kkyxkk即3743yx则圆心(2,0)到直线FE的距离3722339116d……………12分故结论成立.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx＋ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f(x)在区间[2e,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f(x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，……………2分即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．∴a≥-3；……………5分（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，也就是k（x-1）＜x•lnx+ax-ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．则问题转化为k＜ln1xxxx对任意x∈（1，+∞）恒成立，……………6分设函数h（x）=ln1xxxx，则h′(x)=2ln2(1)xxx，再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-1x．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，……………8分∴h(x)=ln1xxxx在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（