高中数学《3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义》评估训练新人教A版选修1-2

13．2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义双基达标限时20分钟1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于()．A．0B．2iC．6D．6－2i解析z＝3－i－(i－3)＝6－2i.答案D2．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案B3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案B4．若z1＝2－i，z2＝－12＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．解析|Z1Z2→|＝2＋122＋－1－2＝612.答案61225．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.解析∵z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，由复数相等的条件知32a＋33b＝43，a－b－1＝0，解得a＝2，b＝1.∴a＋b＝3.答案36．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意得a＝3b≠0.∵|ω|＝z2＋i＝52，∴|z|＝a2＋b2＝510，将a＝3b代入上式，得a＝15，b＝5，或a＝－15，b＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()．A．0B．1C.22D.12解析由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离．答案C8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于()．A．10B．25C．100D．2003解析根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1→、OM2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，∵|OM→|＝42＋32＝5，∴|M1M2|＝10.∴|z1|2＋|z2|2＝|OM1→|2＋|OM2→|2＝|M1M2→|2＝100.答案C9．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．解析因为OA→＋OC→＝OB→，所以2＋a2i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以2－b＝－2a，a2＋a＝3，得a－b＝－4.答案－410．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．解析方程|z－4i|＝|z＋2|表示线段Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x＋2y＝3.∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y＝223＝42.当且仅当2x＝22y，即x＝2y且x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时取到最小值42.答案4211．设m∈R，复数z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．解因为z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i，4z2＝－2＋m(m－3)i，所以z1＋z2＝m2＋mm＋2－2＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝m2－m－4m＋2＋(m2－2m－15)i.因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，所以m≠5且m≠－3且m≠－2，所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．12．(创新拓展)设z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.解法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝2.法二∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，∴将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝2.法三作出z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→，使OZ1→＋OZ2→＝OZ→.∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1→、OZ2→不共线(若OZ1→、OZ2→共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又∵|z1＋z2|＝2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝2.