高中数学【Word版题库】4.6 二倍角的三角函数

4.6二倍角的三角函数一、填空题1．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝____.解析由α∈π2，π，sinα＝55，得cosα＝－255，tanα＝－12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.答案－432．计算1－2sin222.5°的值为________．解析原式＝cos45°＝22.答案223．已知α是第一象限的角，且cosα＝513，则sinα＋π4cos(2α＋4π)的值为________．解析∵α是第一象限的角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sinα＋π4cos(2α＋4π)＝22(sinα＋cosα)cos2α＝22(sinα＋cosα)cos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.答案－132144．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32，所以当sinx＝12时，f(x)max＝32；当sinx＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－32.答案－325．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.答案－356．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos2α＝________.解析∵f(x)＝(cosα－2sinα)sinx＋(sinα－2cosα)cosx，故cosα－2sinα＝0，cosα＝2sinα，∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝15，cos2α＝1－2sin2α＝35.答案357．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，则cos2α＝________.解析由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝38，cos2α＝2cos2－1＝－14.答案－148．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝______.解析∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，∴1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝3.又∵0α＋βπ，∴α＋β＝π3.答案π39．函数y＝sinx＋3cosx，x∈π6，π的值域是________．解析∵y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3.又∵π6≤x≤π，∴π2≤x＋π3≤4π3.结合正弦函数的图象与性质得：－32≤sinx＋π3≤1.∴－3≤2sinx＋π3≤2.答案[－3，2]10．函数y＝3sinxcosx－sin2x的最小正周期为________，最大值为________．解析y＝32sin2x－1－cos2x2＝32sin2x＋12cos2x－12＝sin2x＋π6－12.所以T＝π，f(x)max＝1－12＝12.答案π1211．函数f(x)＝1－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的值域为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝1－2sin2x＋4cos2xsin2x＝1－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2因为sin2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案[0,4]12．已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)等于________．解析由1－cos2αsinαcosα＝1得2sin2αsinαcosα＝1，∴tanα＝12，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝β－α－tanα1＋β－αα＝－13－121＋－13×12＝－1.答案－113．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC→|＝10，则点C的坐标是________．解析如图，α＋2β＝90°，sinα＝45，cosα＝35，所以sin(90°－2β)＝45.即cos2β＝45，从而2cos2β－1＝45，cosβ＝310，sinβ＝110.所以tan(α＋β)＝α＋βα＋β＝cosβsinβ＝3.所以直线OC的方程为y＝3x，于是由x2＋x2＝10x2＝10，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案(－1，－3)二、解答题14.利用三角公式化简：)10tan31(50sin．解析原式10cos)10sin2310cos21(250sin)10cos10sin31(50sin10cos40sin50sin210cos10sin30cos10cos30sin50sin2110cos80sin10cos40sin40cos2．15．已知sinx＋cosx＝－15(135°x180°)．求2sinxcosx－sinx－cos3x＋sin3x的值．解析∵sinx＋cosx＝－15，∴1＋2sinxcosx＝125.即1＋sin2x＝125，∴sin2x＝－2425.又∵270°2x360°，∴cos2x＝725.∴原式＝2sinxcos(2x－x)－sin(2x－x)－cos(2x＋x)＋sin(2x＋x)＝2sinx2sin2x·sinx＋2cos2x·sinx＝1sin2x＋cos2x＝－2517.16．设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)，求函数f(x)在π4，11π24上的最大值和最小值．解析f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝a2sin2x－cos2x，由f－π3＝f(0)，得－32·a2＋12＝－1，解得a＝23.因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6.当x∈π4，π3时，2x－π6∈π3，π2，f(x)为增函数．当x∈π3，11π24时，2x－π6∈π2，3π4，f(x)为减函数．故f(x)max＝fπ3＝2，又因为fπ4＝3，f11π24＝2，所以f(x)min＝f11π24＝2.17．已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝2sin2π4＋B2，－1，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋cosC的取值范围．解析(1)因为m⊥n，所以m·n＝2sinB·2sin2π4＋B2－2＋cos2B＝0，即2sinB·1－cos2π4＋B2－2＋cos2B＝0，所以sinB＝12，又0＜B＜π，所以B＝π6或5π6.(2)当B＝π6时，sinA＋cosC＝sinA＋cos5π6－A＝sinA－32cosA＋12sinA＝32sinA－32cosA＝3sinA－π6.由于0＜A＜5π6，所以sinA＋cosC∈－32，3.当B＝5π6时，同理可得sinA＋cosC∈32，32.18．已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；(2)若fα＋π8＝25，且α∈0，π2，求f(α)．解析(1)f(x)＝a·b＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)＝cosx－sinxcosx·(2cos2x＋2sinxcosx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.(2)因为fα＋π8＝2cos2α＋π4＝25，所以cos2α＋π4＝210，且2α＋π4∈π4，5π4，所以sin2α＋π4＝7210.所以f(α)＝2cos2α＝2cos2α＋π4－π4＝2cos2α＋π4cosπ4＋2sin2α＋π4sinπ4＝85.