高中数学【配套Word版文档】2.6指数与指数函数

§2.6指数与指数函数2014高考会这样考1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n为奇数时nan＝a.当n为偶数时nan＝aa≥0－aa02．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·an个(n∈N*)．②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：amn＝nam(a0，m、n均为正整数)．⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m、n均为正整数)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars(a0，r、s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x0时，y1；x0时，0y1(5)当x0时，0y1；x0时，y1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[难点正本疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论．3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性或利用中间值．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案7解析[(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．答案(－2，－1)∪(1，2)解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0a2－11，∴1a22，即1a2或－2a－1.3．若函数f(x)＝ax－1(a0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.答案3解析当a1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]．因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝3.当0a1时，x∈[0,2]，y∈[a2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．综上，a＝3.4．(2012·四川改编)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是下列图形中的________(填序号)．答案④解析当a1时，y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距为01－1a1，排除①，②.当0a1时，y＝ax－1a为减函数，且在y轴上的截距为1－1a0.5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________.答案7解析∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.题型一指数幂的运算例1(1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x12＋x－12＝3，求x2＋x－2－2x32＋x－32－3的值．思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；(2)注意x2＋x－2、x32＋x－32与x12＋x－12之间的关系．解(1)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－23×(－1)＝11＋3－312＋23－2×23×23＝11＋3－3＋8－8＝11.(2)∵x12＋x－12＝3，∴(x12＋x－12)2＝9，∴x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7，∴(x＋x－1)2＝49，∴x2＋x－2＝47，又∵x32＋x－32＝(x12＋x－12)·(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18，∴x2＋x－2－2x32＋x－32－3＝47－218－3＝3.探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．计算下列各式的值：(1)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)a3b23ab2a14b124a－13b13(a0，b0)．解(1)原式＝－278－23＋1500－12－105－2＋1＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝5－2－1－5－22＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝a3b2a13b2312ab2a－13b13＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab－1.题型二指数函数的图象、性质的应用例2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列a、b的范围判断正确的是________．(填序号)①a1，b0；②a1，b0；③0a1，b0；④0a1，b0.(2)求函数f(x)＝3x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间．思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．答案(1)④解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)解依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．∵x2－5x＋4≥0，∴f(x)＝3x2－5x＋4≥30＝1，∴函数f(x)的值域是[1，＋∞)．令u＝x2－5x＋4＝x－522－94，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，∴当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．而31，∴由复合函数的单调性，可知f(x)＝3x2－5x＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．(1)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________．(填序号)答案①解析y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x0时，e2x－10，且随着x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有①正确．(2)若函数f(x)＝e－(x－μ)2(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________.答案1解析由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即e－(－x－μ)2＝e－(x－μ)2，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，∴f(x)＝e－x2.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0，∴f(x)的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.题型三指数函数的综合应用例3(1)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.①若f(x)＝32，求x的值；②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．解(1)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．(2)①当x0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x0，∴x＝1.②当t∈[1,2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－10，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．探究提高对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．解(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数，当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．(2)可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式．规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.[4分]又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验，a＝2，b＝1符合题意，∴a＝2，b＝1.[7分](2)方法一由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋20，即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)0.[9分]整理得23t2－2t－k1，因底数21，故3t2－2t－k0.[12分]上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.[14分]方法二由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t