高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1

用心爱心专心1一元二次不等式的解法一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的用心爱心专心2横坐标。【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表：记忆图分类△＞0△=0△＜0ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集（－∞，x1）∪（x2,＋∞）（－∞，x0）∪（x0，＋∞）Rax2+bx+c＜0(a＞0)的解集(x1，x2)【评注】1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是：1.化为一般式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。用心爱心专心33.写出解集：用区间或用大括号表示解集。例：解不等式x+2＞3x2解：原不等式等价于3x2－x－2＜0解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。∴原不等式的解集为（，1）。第二阶梯例1、解下列不等式：（1）2+3x－2x2＜0；（2）－x2+2x－3x＞0；（3）x2－4x+4＞0【解】（1）原不等式等价于2x2-3x-20由2x2－3x－2=0得，x2=2.∴原不等式的解集是（2）原不等式等价于:x2-2x+30由△=＜0，知原不等式解集为。用心爱心专心4（3）△=，方程有等根，∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。【评注】1.要严格按“解法步骤”求解。2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0【探路】化为一元二次不等式来解。【解】∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，∴原不等式等价于(1+x)(2-x)＞0＜0－1＜x＜2∴原不等式的解集为（－1，2）。例3、设全集为R，已知A={}，求。【探路】解不等式化简集合A。【解】，……（1）用心爱心专心5方程2x2-x-1=0的两根为∴不等式①的解集为[，1]，∴A=[，1]∴例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。【解】已知方程有两个负根的等价条件是∴m的取值范围是（]∪[1，＋∞）用心爱心专心6【评注】1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x20,x1+x20的条件。2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。第三阶梯例5、已知A=，B=。（1）若BA，求a的取值范围；（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。【探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。【解】解不等式得A=[1，2]；而B={≤0}。（1）若BA，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2。（2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1}∴a的取值范围是a≤1。【评注】用心爱心专心7集合B的最简表示只能是B={}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间。例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0(a∈R)。【探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。【解】解方程2x2-5ax-3a2=0，得当a＞0时，＜3a，原不等式的解集是（，3a）；当a＜0时，＞3a，原不等式的解集是（3a，）；当a=0时，=3a=0，原不等式的解集是。【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。例7已知（且b＞0）的解集为{x|－1≤x≤2}，求实数a，b的值。【探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系用心爱心专心8求a、b的值。【解】∴关于x的二次不等式（a2＞0)的解集为[－1，2]。∴－1和2是方程的二根∴解得；或∵b＞0，舍去后一组解。∴a=-6,b=9【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。三、练习题A组1.不等式|x(x+1)|＞x(x+1)的解集是（）（A）（－∞，－1）∪（－1，+∞）（B）（－1，+∞）（C）（－∞，－1）∪（－1，0）（D）（－1，0）用心爱心专心92.不等式42x2+ax＜a2（常数a＜0）的解集是（）（A）（B）（C）（D）3.不等式＜0的解集是（）（A）（0，3）（B）（－3，0）（C）（－3，3）（D）R4.若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为，那么（）（A）a＜0，且b2－4ac＞0（B）a＜0，且b2－4ac≤0（C）a＞0，且b2－4ac≤0（D）a＞0，且b2－4ac＞05.有三个关于x的方程：，已知其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为（）（A）－4≤a≤4（B）－2＜a＜4（C）a＜0（D）a≤－2，或a≥46.不等式4≤x2-3x＜18的整数解集是。7.若方程组有两组解，则实数m的取值集合是。8.集合A=，B=，则A∩B=。用心爱心专心109.若的解集是{x|2＜x＜4}，则p，q的值分别是p=，q=。10.对任何实数x，函数的值恒为负数，则p的取值范围是。【答案】1.D2.B3.C4.C5.D6.{－2，－1，4，5}7.（）8.（2，4）9.10.－4＜p≤0B组1．解不等式：(1)（x+1）(x+2)＞0;(2)2x(x-)＜0;(3)14-4x2≥x;(4)0＜x2-x-2＜4.2.解不等式组x(x2+1)≥(x+1)(x2-x+1),用心爱心专心111-2x＞3(x-9).3.解不等式：（1）＜0（2）＞14．解不等式（x+a）(x+b)＞0(a＜b)5．X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。6．已知U=R,且A={x|x2-90},B={x|x2-3x+2≥0}求：（1）A∩B；（2）A∪B（3）Cu（A∩B）（4）（CuA）∪（CuB）7．不等式（a2-1）x2-(a-1)x-10的解集为R，求a的取值范围。8．解不等式x9.已知全集U=R，A={x|x2-x-60},B={x|x2+2x-80},C={x|x2-4ax+3a0},若A∩BC，求实数a的取值范围。10．已知A={x||x-a≤1},B={x|≥0},且A∩B=,求a的取值范围。答案用心爱心专心121．（1）{x|x-2或x-1};(2){x|0XSPAN};(3){x|-2≤x≤};(4){x|-2X-1SPAN或2x3}2.{x|1x}3.(1){x|-X〈SPAN〉;(2){x|x}4.{x|x-b或x-a}.5.{x|2X3}SPAN6.易得A＝（－3，3），B＝（－∞，1）∪［2，＋∞］，则（1）A∩B＝｛x|-33｝（2）A∪B＝R（3）Cu(AB)={x|x≤–3或1X2或X≥3}.（4）(CuA)∪(CuB)={x|x≤–3或1X2或X≥3}SPAN7．当a2-1=0时a=1,有x∈R.当a2-1≠0时，△＝（a-1）2+4(a2-1)=5a2-2a-30a2-10即—A1时有X∈R.SPAN综上所述：－A≤1SPAN用心爱心专心138．x化为0，化为或即x1或-1X0,SPAN所以解集为{x|-1X1}9.A=(-2,3),B=(－∞,-4)(2,+∞),A∩B=(2,3),C={x|(x-a)(x-3a)0},当a0时,c=(3a,a),A∩B∈C不可能成立当a0时，c=(a,3a),由A∩B∈C得即1≤a≤2.10.A=[a-1,a+1],B=[0,1]∪(3,+∞)a+10或即a-1.