高中数学典型题及解法积累

-1-高中数学典型题及解法积累第六章：不等式、推理及证明1.（2012年6月包33中高一期末考试15题）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式myx41恒成立的实数m的取值范围是______________________解：∵x＋y＝4,∴14yx,将yx41中的1代换为4yx,4代换为x＋y得到:yx41=yyxxyx4=4914542451441yxxyyxxy∵myx41恒成立,∴49m（反思:此题巧妙地代换了不等式中的1和4，借助重要不等式abba2,其中ab的积为常数，使问题迎刃而解.真可谓是“奇思妙解”.）直线和圆的方程2.（2012年6月包33中高一期末考试16题）已知p是直线0843yx上的动点，,PAPB是圆012222yxyx的切线，,AB是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________________.解：∵012222yxyx∴圆的标准方程是：1)1()1(22yx圆心C(1,1)半径r=1如图：四边形PACB中，△PAC和△PBC全等，且都是直角三角形.∴当△PAC的面积最小时，四边形PACB的面积的最小.因为ACPASPAC21,这里AC=1,只需PA最小即可.而当PA最小时,CP取得最小值,此时CP与直线0843yx垂直.-2-由点到直线的距离公式得3438141322CP,因此可得22132222ACCPPA,∴四边形PACB面积的最小值为2（反思:此题的关键是将四边形的面积转化为两个三角形面积的和,三角形面积最小转化为求一直角边最小,而另一直角边的长度不变,进而转化为求点到直线的距离.）最值问题:(选修4-1)在一个半径为R的圆中,剪去一个圆心角为的扇形,剩下的部分围成一个圆锥,当为何值时,圆锥的容积最大.(由张清海老师作答)解法一:如图,设圆锥底面半径为r,高为h,容积为V)(2232313122222222rRrrrRrhrV根据公式3)3(cbaabc得332222222227323)(2232)(2232RrRrrrRrrV当且仅当:222222rRrr时,即:Rr36,等号成立,V取得最大值.由题意得,RRr22,所以,2RRr所以,RRR362,由此解得,)361(2答:当)361(2时,圆锥的容积最大.（反思:此题的关键是转化为不等式求最值,构造一个既能相等,且和为定值的三个连乘式子α-3-)(222222rRrr）解法二:如图,设圆锥底面半径为r,高为h,容积为V,母线与对称轴的夹角为α,则sinRr,cosRh223222sin1sin31cossin3131RRRhrV)sin22(sinsin62)sin1(sinsin3122232223RR33222327323)sin22(sinsin62RR当且仅当:222sin22sinsin时,即:36sin,等号成立,V取得最大值.由题意得,RRr22,其中RRr36sin所以RRR2362,所以,)361(2答:当)361(2时,圆锥的容积最大.（反思:此题的关键是转化为不等式求最值,构造一个既能相等,且和为定值的三个连乘式子)sin22(sinsin222）理科:概率------离散型变量1.（2013·广东模拟理17）甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响。已知至少有1人面试合格概率为78。-4-（1）求P，（2）求签约人数的分布列和数学期望值.解：（1）至少1人面试合格概率为87（包括1人合格2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为81871.81)1(3p,21p（2）签约人数取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：有三种情形都不合格:81)211(3,甲、丙不合格，乙合格：8121)211(2,甲、乙不合格，丙合格：8121)211(2签约人数为0的概率：83818181签约人数为1的概率：有三种情形：甲合格、乙丙都不合格；甲、乙合格，丙不合格；甲丙合格，乙不合格。人不合格，同理可得：83818181签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：8121)211(2签约人数为3的概率：甲、乙、丙部合格：81212121（解完题题后，请验证概率和为1）签约人数的分布列表：[来源:学科网]签约人数ζ0123概率P38381818签约人数ζ的数学期望：E（ζ）＝1813812831830-5-（2012•潍坊二模）某超市计划在“五一”节期间对某种商品开展抽奖促销活动，设计的活动方案有两个：方案一：采取摸球抽奖的方法．在盒子中放入大小相同的10个小球，其中白球7个，黄球3个．顾客在购买一件该商品后，有连续三次摸球的机会，每次摸出一个小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一个黄球奖励价值20元的奖品一件．方案二：采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖．顾客在购买该商品后，用力转动圆盘一次，根据箭头A指向确定获得相应价值的奖品一件（箭头A指向每个区域的可能性相等，指向区域边界时重新转动）．（I）按照这两种方案各进行一次抽奖，分别求出顾客能中奖的概率；（II）设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为X元，按照方案二抽奖顾客能获得的奖品的价值为Y元，分别求出X和Y的分布列和数学期望．考点分析：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．属概率与统计专题内容．解题分析：（I）分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．（II）由题意知变量的可能取值，对应于变量的不同值理解对应的事件，根据等可能事件的概率，做出分布列，写出期望．解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A=720，记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A=210，则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）==，按照方案一抽奖，中奖的概率为1﹣P（A）=，-6-因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为，（II）由题意知，变量X的可能取值是0，20，40，60．P（X=0）==，P（X=20）=310332713AACC=，P（X=40）==，P（X=60）==，∴X的分布列是：则E（X）=0×+20×+40×+60×=18．由题意知，变量Y的可能取值是0，10，30，50．P（Y=0）=，P（Y=10）=P（Y=30）=P（Y=50）=，∴Y的分布列是：则E（Y）=0×+10×+30×+50×=9．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．数列问题：-7-1.设数列na的前n项和为nS，满足12211nnnaS，*Nn，且1a，52a，3a成等差数列，（1）求1a，（2）求数列na的通项公式。解：（1）当n为1和2时，分别得到两个式子，再由等差数列得一个式子，共三个式子312321211021822142aaaaaaaa由此解得，11a，且52a（2）当2n时，由已知得：122122111nnnnnnaSaS两式相减得，nnnnaaa221，（下面进行配等比）所以，112)2(322)2(323nnnnnnnnnaaaa即：)2(3211nnnnaa，当1n时，将11a，52a代入，等式成立，说明此式对于*Nn都成立。此式说明，数列nna2是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为nnnna33321所以，数列na的通项公式是nnna23，（*Nn）。高考模拟题(排列组合):身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()A、48种B、72种C、78种D、84种解：由题意知先使五个人的全排列，共有12055A种结果．去掉同颜色衣服相邻的情况。（1）仅考虑穿红色衣服相邻的情况有484422AA种（相邻的看成一整体,捆绑法），（2）仅考虑穿黄色衣服相邻的情况有484422AA种（相邻的看成一整体,捆绑法），（3）考虑（1）（2）中的重复情况，即穿红衣服和穿黄衣服的人分别相邻的情况，有24332222AAA种.（相邻的看成一整体,捆绑法），所以,穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有120-(48+48-24)=48种.三角函数题-8-在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是cba,,,),cos,2(),1,2(Ccbnam且m∥n，求：（1）角A的大小，（2）求CBsinsin的取值范围。解：（1）由平行向量的性质，及余弦定理，很容易求得3A(2))6sin(3)32sin(sinsinsinBBBCB因为，6566B,所以，1)6sin(21B，成以3sinsin23CB（反思，此题在求正弦函数的值域时，不能忽略角的范围，而不假思索地认为正弦值的范围为[-1，1]。