高三总复习60-离散型随机变量的均值与方差正态分布

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）考纲要求考点高考真题例举2012201120101.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义.离散型随机变量的均值安徽卷，17天津卷，16福建卷，16离散型随机变量的方差新课标全国卷，18辽宁卷，19——正态分布新课标全国卷，15湖北卷，5广东卷，7课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）考纲要求考点高考真题例举2012201120102014年高考预测1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．3．根据正态密度曲线的性质，求正态随机变量在特定区间上的概率.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(对应学生用书P210)1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(1)均值称E(X)＝为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的．(2)方差称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X对其均值E(X)的，其算术平方根为随机变量X的标准差．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度平均偏离程度DX课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）问题探究1：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝.(2)D(aX＋b)＝．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）4．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值12πσ；上方x＝μx＝μ课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．1μ越小越大课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）问题探究2：参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝，则称X的分布为正态分布，记作．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.N(μ，σ2)0.68260.95440.9974课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(对应学生用书P210)1.随机变量的均值(数学期望)等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和．2．均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值(数学期望)是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）3．求离散型随机变量均值的方法步骤：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）E(ξ)是一个常数，即ξ作为随机变量是可变的，而E(ξ)是不变的．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2012年江苏)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．【思路启迪】(1)利用古典概型求解；(2)先确定ξ的取值，求出ξ的分布列，再求E(ξ)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）【解】(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以ξ的分布列是ξ012P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(1)求离散型随机变量的均值关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值公式计算，则更为简单．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6，P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为ξ1346P13161613(2)E(ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时).课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度．在两个随机变量的均值较接近时，方差越小，取值越稳定．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2012年湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【思路启迪】(1)应用均值和方差公式求解；(2)利用分布列求解．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）【解】(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤X900PX≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）求方差的步骤：(1)求X的分布列；(2)求X的均值；(3)利用方差的定义求D(X)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）解：(1)ξ的取值为0,1,2,3,4，其分布列为ξ01234P1212011032015∴E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2)由D(η)＝a2D(ξ)得2.75a2＝11，得a＝±2，又E(η)＝aE(ξ)＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4为所求.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）1.解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）在对不同的方案进行取舍时，一般先比较均值，再比较方差．若均值很接近，则方差小的更稳定．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(2012年新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·数学（理）(