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回归课本(十四)导数一.考试内容:导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.二.考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.(2)熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.三.基础知识:1.)(xf在0x处的导数(或变化率或微商)000000()()()limlimxxxxfxxfxyfxyxx.2.瞬时速度00()()()limlimttssttststtt.3.瞬时加速度00()()()limlimttvvttvtavttt.4.)(xf在),(ba的导数()dydffxydxdx00()()limlimxxyfxxfxxx.5.函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0x处的导数是曲线)(xfy在))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf,相应的切线方程是))((000xxxfyy.6.几种常见函数的导数(1)0C(C为常数).(2)'1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln;eaxxalog1)(log.(6)xxee)(;aaaxxln)(.7.导数的运算法则(1)'''()uvuv.(2)'''()uvuvuv.(3)'''2()(0)uuvuvvvv.8.复合函数的求导法则设函数()ux在点x处有导数''()xux,函数)(ufy在点x处的对应点U处有导数''()uyfu,则复合函数(())yfx在点x处有导数,且'''xuxyyu,或写作'''(())()()xfxfux.9.常用的近似计算公式(当x充小时)(1)xx2111;xnxn111;(2)(1)1()xxR;xx111;(3)xex1;(4)xxln)1(;(5)xxsin(x为弧度);(6)xxtan(x为弧度);(7)xxarctan(x为弧度)10.判别)(0xf是极大(小)值的方法当函数)(xf在点0x处连续时,(1)如果在0x附近的左侧0)(xf,右侧0)(xf,则)(0xf是极大值;(2)如果在0x附近的左侧0)(xf,右侧0)(xf,则)(0xf是极小值.四.基本方法和数学思想1.导数的定义:f(x)在点x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000;2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为:(1)求函数的增量(2));()(xfxxfy(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(;(3)取极限,得导数xyxfx0lim)(;3.可导与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续;但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导;4.导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是).(0xf相应地,切线方程是);)((000xxxfyy5.导数的应用:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果,0)(xf那么f(x)为增函数;如果,0)(xf那么f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有,0)(xf那么f(x)为常数;(2)求可导函数极值的步骤:①求导数)(xf;②求方程0)(xf的根;③检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求y=f(x)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值6导数与函数的单调性的关系㈠0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数,但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增,但0)(xf,∴0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。㈡0)(xf时,0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点,因为规定0)(xf,即抠去了分界点,此时)(xf为增函数,就一定有0)(xf。∴当0)(xf时,0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。㈢0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数,一定可以推出0)(xf,但反之不一定,因为0)(xf,即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf,则)(xf为常数,函数不具有单调性。∴0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。五.高考题回顾一、曲线的切线:1.(04年重庆卷.理14)曲线2212xy与2413xy在交点处的切线夹角是.(以弧度数作答)2.(湖北卷)在函数xxy83的图象上,其切线的倾斜角小于4的点中,坐标为整数的点的个数是A.3B.2C.1D.03.(重庆卷)曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_________。二、函数单调性和极值点问题.4.(全国卷Ⅰ)函数93)(23xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值,则a=()(A)2(B)3(C)4(D)55.(重庆卷)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8,其中aR。(1)若f(x)在x3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围。6.(湖南卷)已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax2+bx,a≠0.若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;7.已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数,求a的范围.;三、函数的最大值、最小值:8.(04年江苏卷.10)函数13)(3xxxf在闭区间]0,3[的最大值、最小值分别是().A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-199.(全国卷Ⅱ)已知a≥0,函数f(x)=(2x-2ax)xe当X为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论10.(北京卷)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(I)求f(x)的单调递减区间;(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.六.课本中习题归纳一导数的概念,几何意义,函数的求导.1曲线21yx在点A(1,2)处的切线方程是.2曲线222xy在点A(1,1)处的切线方程是.3曲线2214yx的切线方程过点(1,2),则这切线方程是.4已知曲线221yx,及两点(1,3)A,(1,1)B(1)若直线l经过点A,且与曲线221yx相切,则直线l的方程是;(2)若直线l经过点B,且与曲线221yx相切,则直线l的方程是.5质点M按规律223st作匀加速直线运动,则质点M在2t时的瞬时速度为,加速度a.6求下列函数的导数(1)yx,'y;(2)21(1)yx,'y;(3)1yx,'y;(4)2sinsin2yxx,'y;(5)2cosyxx,'y;(6)2ln1yx,'y;(7)2cos3xyex,'y;(8)axyax,'y;(9)2axyxe,'y;(10)naxyxe,'y;(11)lnaxyex,'y;(12)2ln()yxxmmx,'y.7曲线215yxx在点P(2,192)处的切线方程是.8曲线32yx在点P(8,4)处的切线方程是.9曲线cosyx在点P(2,42)处的切线方程是.10曲线2yxpxq与x轴相切的条件是.11已知两条曲线21yx与31yx.(1)若这两条曲线在0xx的点处的切线互相平行,则0x;(2)若这两条曲线在1xx的点处的切线互相垂直,则1x.12(1)设2(1)()1(1)xxfxaxx在1x处可导,则a.(2)设2(1)()1(1)xxfxaxx在1x处连续,则a.二导数的应用13(1)函数224yxx的递增区间是;递减区间是.(2)函数24yxax在(1,)上为增函数,则a的取值范围是.(3)函数34yxax在(1,)上为增函数,则a的取值范围是.14函数(1)()1(12)ln(1)(2)xxexfxxxxx,的递增区间是;递减区间是.15(1)函数31()443fxxx的极大值是;极小值是.(2)函数3()4fxaxbx在12x有极大值283,在22x有极小值是43,则a;b.(3)函数31()43fxxax有极大值又有极小值,则a的取值范围是.16(1)函数42()25fxxx在区间[2,2]上的最大值是;最小值是.(2)求函数42()5fxxax在区间[2,2]上的最大值与最小值.17圆柱形金属饮料罐的容积一定时,为了使所用材料最少,则它的高与底半径之比等于.18已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为1004Cq,价格p与产量q的函数关系式为1258pq.求产量q为何值时,利润L最大,并求这个最大值.19设函数()xccxccabbfxa,其中实数,,,abcd满足1ab;1cd.(I)求证:()fx在[0,)上为减函数;(II)证明:cdabdcab.
本文标题:高中数学回归课本(导数)
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