高三数学一轮(北师大版)基础巩固第7章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

-1-第七章第三节一、选择题1．(文)二元一次不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)0表示的平面区域为()[答案]C[解析](x－2y＋1)(x＋y－3)0⇔x－2y＋10，x＋y－30，或x－2y＋10，x＋y－30，画图易知，C正确．(理)(教材改编题)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为()A．x＋y－1≥0x－2y＋2≥0B．x＋y－1≤0x－2y＋2≤0C．x＋y－1≥0x－2y＋2≤0D．x＋y－1≤0x－2y＋2≥0[答案]A[解析]两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即x＋y－1≥0x－2y＋2≥0为所表示的可行域．2．不等式组x－y＋5≥0y≥a0≤x≤3表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()-2-A．a5B．a≥8C．5≤a8D．a5或a≥8[答案]C[解析]如图，易求得P(3,8)，显然当5≤a8时，直线y＝a与两直线围成一个三角形，满足题设要求．3．若变量x，y满足约束条件y≤2x，x＋y≤1，y≥－1，则x＋2y的最大值是()A．－52B．0C．53D．52[答案]C[解析]令z＝x＋2y，根据不等式组作出其表示的平面区域，如图阴影部分所示．平行移动y＝－12x＋12z.可知该直线经过y＝2x与x＋y＝1的交点A(13，23)时，z有最大值为13＋43＝53.4．(2014·安徽高考)x,y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A．12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1[答案]D[解析]本题考查线性规划问题．如图，z＝y－ax的最大值的最优解不唯一，即直线y＝ax＋z与直线2x－y＋2＝0或x＋y－2＝0重合，∴a＝2或－1.-3-5．如果实数x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为()A．2B．－2C．15D．不存在[答案]A[解析]作出不等式组表示的可行域如图．可行域中的最优解可能是A(5,2)，B(1，225)，C(1,1)．若k＝－2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是B(1，225)，取得最小值的最优解是A(5,2)，有12＝－2×1＋225成立与3＝－2×5＋2不成立，排除选项B．若k＝2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是A(5,2)，取得最小值的最优解是C(1,1)，有12＝12×5＋2与3＝2×1＋1都成立，所以选A．6．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4t1.2万元0.55万元韭菜6t0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50-4-[答案]B[解析]解法1：本题考查不等式、函数单调性与数学知识的应用，设种植黄瓜x(x≤50)亩，种植韭菜为(50－x)亩，由已知1.2x＋0.9(50－x)≤54.∴x≤30，利润y＝4×0.55x＋6×0.3(50－x)－1.2x－0.9(50－x)＝0.1x＋45，由于g(x)＝0.1x＋45增函数，当x＝30(亩)时，y取最大值为48万元，此时种植黄瓜面积为20亩，故选B．解法2：本题可应用线性规划知识求最优解．设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x，y满足约束条件x＋y≤501.2x＋0.9y≤54，x，y∈N＋，求目标函数z＝x＋0.9y的最大值．根据题意画出可行域如图．当目标函数线l向右平行，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．二、填空题7．(2014·北京高考)若x，y满足y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．[答案]1[解析]画出可行域如图，当z＝3x＋y过A点时z最小为zmin＝1，“直线定界，特殊点定域”是画可行域要遵循的原则办法．8．若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则x－y的取值范围是______．[答案][－3,0]-5-[解析]本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，对应△ABC边界及内的区域，其中A(0,3)，B(0，32)，C(1,1)，则t＝x－y∈[－3,0]．9．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案]15[解析]设购买A，B两种矿石各x万吨和y万吨，最少费用为z百万元，由题意知0.5x＋0.7y≥1.9x＋0.5y≤2x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋6y，作出可行域求解可得zmin＝15.三、解答题10．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件0≤x≤1y≤22y－x≥1，求z的最大值和最小值．[解析]作出二元一次不等式组0≤x≤1y≤22y－x≥1所表示的平面区域．如图阴影部分及边界．考查z＝2y－2x＋4，将它变形为y＝x＋12z－2，这是斜率为1随z变化的一组平行线，12z－2是直线在y轴的截距，当直线在y轴上的截距最大时，z的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝2y－2x＋4取得最大值；当直线在y轴上的截距最小时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝2y－2x＋4取得最小值．由图可知，当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大，解方程组x＝0y＝2得A的坐标(0,2)，所以zmax＝2y－2x＋4＝2×2－2×0＋4＝8.-6-当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小．解方程组x－2y＋1＝0x＝1得B点的坐标(1,1)，所以zmin＝2y－2x＋4＝2×1－2×1＋4＝4.一、选择题1．给出平面区域如下图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A．14B．35C．4D．53[答案]B[解析]目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l应与AC重合，即－a＝kAC＝225－21－5＝－35，∴a＝35.2．(2014·山东高考)已知x、y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C．5D．2[答案]B[解析]本题考查线性规划与点到直线的距离．如图所示-7-由x－y－1＝0，2x－y－3＝0.解得x＝2，y＝1.∴A点坐标为(2,1)，z＝ax＋by在A点处取得最小值25，即2a＋b＝25.a2＋b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋b＝25的距离的平方是(255)2＝4.二、填空题3．(文)(2014·成都月考)若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y3表示的平面区域内，则m＝________.[答案]－3[解析]由题意可得|4m－9＋1|5＝4，2m＋33，解得m＝－3.(理)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．[答案]－2[解析]本题考查了线性规划知识，需要我们把约束条件中的绝对值符号化掉，|x|＋2|y|≤2，可化为以下四个不等式组．x≥0y≥0x＋2y≤2或x≤0y≤0－x－2y≤2或x≥0y≤0x－2y≤2或x≤0y≥0－x＋2y≤2.可行域如图阴影部分所示-8-易得A(2,0)，z＝y－x在A(2,0)处取得最小值zmin＝－2.4．设m1，在约束条件y≥xy≤mxx＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．[答案]3[解析]本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m.由m1可画出可行域如图所示，则当直线z＝x＋5y过点A时z有最大值．由y＝mxx＋y＝1得A(1m＋1，mm＋1)，代入得1m＋1＋5mm＋1＝4，即解得m＝3.三、解答题5．已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.(1)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(2)若z＝yx，求z的最大值和最小值．[解析]不等式组x＋y－3≥0x－y＋1≥0x≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，得x＝1，y＝2，∴A(1,2)；由x＝2，x＋y－3＝0，得x＝2，y＝1，∴B(2,1)；-9-由x＝2，x－y＋1＝0，得x＝2，y＝3，∴M(2,3)．(1)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为y＝x，由y＝x，x＋y－3＝0，得x＝32，y＝32，∴N32，32，点N32，32在线段AB上，也在可行域内．此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．又OM＝13，ON＝92，即92≤x2＋y2≤13，∴92≤x2＋y2≤13，所以z的最大值为13，z的最小值为92.(2)由图像可得，原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大，与点B的连线的斜率值最小，又kOA＝2，kOB＝12，∴12≤yx≤2.∴z的最大值为2，z的最小值为12.6．若a≥0，b≥0，且当x≥0，y≥0，x＋y≤1时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．[解析]作出线性约束条件x≥0，y≥0，x＋y≤1，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．令z＝ax＋by，则y＝－abx＋zb.因为a≥0，b≥0，-10-则－1－ab≤0时，b≤1或－ab≤－1时，a≤1.此时对应的可行域如图，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.