高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法

高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法高考要求充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系重难点归纳(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)例1已知p|1－31x|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围命题意图本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性知识依托本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了错解分析对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难技巧与方法利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件p:|1－31x|≤2－2≤31x－1≤2－1≤31x≤3－2≤x≤10q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*∵p是q的充分不必要条件，∴不等式|1－31x|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m0)解集的子集又∵m0∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m∴9110121mmmm，∴m≥9，∴实数m的取值范围是［9，+∞)例2已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件命题意图本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性知识依托以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定错解分析因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明技巧与方法由an=)2()1(11nSSnSnn关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明解a1=S1=p+q当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)∵p≠0,p≠1,∴)1()1(1ppppnn=p若{an}为等比数列，则nnaaaa112=p∴qppp)1(=p,∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1这是{an}为等比数列的必要条件下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)∴an=(p－1)pn－1(p≠0,p≠1)211)1()1(nnnnppppaa=p为常数∴q=－1时，数列{an}为等比数列即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1例3已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明|α|2且|β|2是2|a|4+b且|b|4的充要条件证明(1）充分性由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)0即有024024baba4+b2a－(4+b)又|b|＜44+b02|a|＜4+b(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)0且f(x)的图象是开口向上的抛物线∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2例4写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；（2）若xy=0，则x=0或y=0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.例5有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.学生巩固练习1函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()Aab=0Ba+b=0Ca=bDa2+b2=02“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分条件也不是必要条件3a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的___4命题A两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件5设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a2且b1是两根α、β均大于1的什么条件？6已知数列{an}、{bn}满足bn=nnaaan321221,求证数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列7已知抛物线Cy=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件8p:－2m0,0n1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件(充要条件)课后作业：一、选择题1.“A∩B=A”是A=B的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列判断正确的是().A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件B.x2＞4是x2＞23的必要条件C.｜x+1｜＜1是-2＜x＜0的充要条件D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件3.若条件p∶｜x+1｜＞2；条件q∶x2＜5x-6.则p是q的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知A是B的必要条件，B是C的充分条件，则A是C的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无法判断5.“0＜x＜5”是“｜x-2｜＜3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的.2.k＞4,b＜5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的.3.4,4xyyx是2,2yx的.三、解答题1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.2.已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N+｝.当a为何值时.①A是B的充分而不必要条件；②A是B的必要而不充分条件；③A是B的充要条件.3.求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1＞0对一切x∈R都成立的充要条件是什么.4.已知p∶x∈Z，y∈Z，m=x2-y2；q∶k∈Z,m=2K+1,或m=4k.求证：p是q的充分条件.【素质优化训练】1.设关于x的一元二次不等式mx2-mx+1＞0对一切实数均成立，求a的取值范围.2.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.如果存在，求出p的取值范围.【生活实际运用】在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；参考答案：【同步达纲练习】一、1.B2.C3.A4.D5.A6.A二、1.充分而不必要条件.2.充要条件.3.必要而不充分条件.三、1.略.2.①a=3,2,1.提示：AB，结合数轴观察.②｛a｜a≥9,a∈N+｝.提示：AB.③这样的a不存在.3.0＜a＜4.提示：分a＞0，a＜0两种情况讨论.4.略【素质优化训练】1.0＜a＜4.2.p≥4时，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.【生活实际运用】图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.参考答案1解析若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x)∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件答案D2解析若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件答案A3解析当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3l1∥l2答案充要条件4解析若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立答案充分不必要5解根据韦达定理得a=α+β,b=αβ判定的条件是p:12ba，结论是q:11(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)(1)由11，得a=α+β2,b=αβ1,∴qp(2)为证明pq,可以举出反例取α=4,β=21,它满足a=α+β=4+212,b=αβ=4×21=21,但q不成立综上讨论可知a2,b1是α1,β1的必要但不充分条件6证明①必要性设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列1