高中数学复习学(教)案(第5讲)函数的解析式与表示方法

题目新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆第二章函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆函数的解析式与表示方法高考要求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；2.掌握求函数值域的几种常用方法；3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.知识点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．题型讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1（1）已知3311()fxxxx，求()fx；（2）已知2(1)lgfxx，求()fx；（3）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx；（4）已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．解：（1）∵3331111()()3()fxxxxxxxx，∴3()3fxxx（2x或2x）．（2）令21tx（1t），则21xt，∴2()lg1ftt，∴2()lg(1)1fxxx．（3）设()(0)fxaxba，则3(1)2(1)333222fxfxaxabaxab5217axbax，∴2a，7b，∴()27fxx．（4）12()()3fxfxx①，把①中的x换成1x，得132()()ffxxx②，①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．例1已知函数f（x）=31323axaxx的定义域是R，则实数a的取值范围是A.a＞31B.－12＜a≤0C.－12＜a＜0D.a≤31解：由a=0或,0)3(4,02aaΔa可得－12＜a≤0.答案：B例2在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.根据余弦定理得12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2，①12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2.②由①＋②整理得y＝2732xx.3-xyx11DCBA其中,2)3(,32,0xxxxx解得21＜x＜25.∴函数的定义域为（21，25）.评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.例3若函数f（x）=cxax21的值域为［－1，5］，求实数a、c.解：由y=f（x）=cxax21，得x2y－ax+cy－1=0.当y=0时，ax=－1，∴a≠0.当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.∴.54,412cac∴.41,5ca评述：求f（x）=11212222cxbxacxbxa（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.例4设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=)]18([13nffn),2000(),2000(nn试求f（2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.例5设f（x）=1214xx－2x+1，已知f（m）=2，求f（－m）.解法一：∵f（m）=2，∴1214mm－2m+1=2.①∴1214mm－2m=2－1.∴f（－m）=1214mm+2m+1=mm212141+2m+1=12441mmm+2m+1=1241mm+2m+1=－1214mm+2m+1=－（1214mm－2m）+1=－（2－1）+1=2－2.解法二：f（x）=1214xx－2x+1＝222xx－2x+1令22()22xxgxx，则22()2()()2xxgxxgx∴22()21()12xxfxxgx∵()()12()21fmgmgm∴()()1()121122fmgmgm例6某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3min以内收费0.2元，超过3min的部分为每分钟收费0.1元，不足1min按1min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1min以内、1到2min以内、2到3min以内、3到4min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1min以内指含mmin，而不含m+1min）解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1min以内、2min以内、3min以内、4min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤9.415≈3.06.∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.例7某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c元，若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m3付b元的超额费，已知耗损费不超过5元。该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量水费一月9m39元二月15m319元三月22m333元根据上面表格中的数据求a，b，c解：设每月用水量为xm3,支付费用为y元，由收费方法知：)()(8)0(8axcaxbaxcy依题意：0c5,∴8+c13所以该用户第二、三月份的用水量均大于am3,将x=15,x=22代入上面的第二个式子，得：cabcab)22(833)15(819，∴b=2,2a=c+19若该用户一月份的用水量大于am3,则9=8+2(9a)+c,2a=c+17与2a=c+19矛盾，∴a9将y=9代入y=8+c得c=1,∴a=10,b=2,c=1例8已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S=21lr=（5－r）r=－r2+5r.由,π2,0,0rllr得π5＜r＜5.∴S=－r2+5r的定义域为（π5，5）.又S=－r2+5r=－（r－25）2+425且r=25∈（π5，π），∴当r=25时，S最大=425.又S＞－52+5×5=0，∴S=－r2+5r，r∈（π5，5）的值域为（0，425］.小结：1．求函数的解析式主要有待定系数法和换元法。如果已知函数解析式的构造时，可以用待定系数法求，如函数为二次函数，可设为y=ax2+bx+c(a≠0)。2．根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。学生练习新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆题组一：1.若f（sinx）=2－cos2x，则f（cosx）等于A.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x解析：∵f（sinx）=2－（1－2sin2x）=1+2sin2x，∴f（cosx）=f（sin2π－x）=1+2sin2（2π－x）=1+2cos2x=2+cos2x.答案：D2.已知f（xx11）=2211xx，则