高中数学复习平面向量练习题

（2012年兴化）如图，CBA,,是直线l上三点，P是直线l外一点，若aBCAB，090APB,045BPC，则PCPA＝▲.（用表示）答案：254a说明：本题有如下几种常见思路：思路1：以PBPA,所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设),0(),0,(nmA，则)2,(nmC根据aBCAB可以求出BA,两点坐标（用a表示）思路2：如图，设点C在直线AP上的射影为D，则PDC为等腰直角三角形，PB为ADC的中位线，则PAPDPC22，再在三角形APC中用余弦定理即可求出PCPA,；或根据PAPBCDPB2，再在APB用勾股定理求出PA，进而求出PC。本题也可作如下图的辅助线解决（关键是要充分利用好中点条件和特殊角构造直角三角形）：（苏锡常二模）已知点在所在平面内，若，则与的面积的比值为.答案：45（盐城二模）已知向量a的模为2,向量e为单位向量,若3,则向量a与e的夹角大小为▲.答案：3aPABCABPCPBPA3432PABPBCPBAC第13题图lACPDBACPDBACPBD（南通一模）在平面直角坐标系中，已知向量a=(1，2)，(3，1)，则▲.答案：0法一由a152ab得2152aab，即1552ab，所以0ab；法二由a=(1，2)，12ab(3，1)得b=(4，2)，所以0ab.（苏州期末）在等边三角形ABC中,点P在线段AB上，满足APAB，若CPABPAPB，则实数的值是___________．答案：212（天一）9.在ABC中，已知4ABAC，12ABBC，则AB＝▲.答案：4（南京三模）6.已知正△ABC的边长为1，73CPCACB,则CPAB=▲．答案:-2（江苏百校联考）11．在中，边上的中线，若动点P满足，则的最小值是▲．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．【答案】解答如下：因为且，所以点P在线段上，故，设，则，当时取最小值xOy12ababABCAB2CO221sincos2APABAC()R()PAPBPC222221sincossincos2APABACAOAC22sin,cos[0,1]OC()2PAPBPCPOPC||POt([0,2])t2()2(2)(1)24PAPBPCtttt1t2（南师大信息卷）已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足，则的最小值为3.提示：由已知得，且，即，且，所以.(南通三模)已知单位向量a、b的夹角为120o，那么|2|()axbxR的最小值是▲.解析：考查向量模的运算。常用22aa这一特性；3)1(24442222222xxxbaxbxabxa，答案：3（无锡期末）设点O是ABC的三边中垂线的交点，且0222ABACAC，则AOBC的范围是．解析：本题考查向量的运算，二次函数在给定区间上的值域。取BC的中点D，则2211()()()()22BCAOBCADDOBCADACABABACbc，又由已知知：2220bbc，得222cbb，且02b，∴22111()[,2)244BCAObbb，即AOBC的范围是1[,2)4。（说明，消元时必须考虑相关参数的取值范围，否则易错为1[,)4，前功尽弃）（南京市2012届高三3月第二次模拟考试）在面积为2的ABC中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2BCPBPC的最小值是______________ABO(1,0),(0,2),(0,0),(,)ABOPxy0,0APOABPOBOPAB(1,)(1,0)10APOAxyx(,2)(0,2)2(2)0BPOBxyy1x2y(,)(1,2)2143OPABxyxy【答案】23解法一：问题可转化为已知PBC的面积为1，求2BCPBPC的最小值。设PBC中点,,PBC所对的边分别为,,pbc，由题设知sin2bcP，∴22222cos(2cos)cos2(2cos)2cossinPCPBBCbcPbcbcPbcbcPPbcbcPP从而进一步转化为2cossinPP的最小值。（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）解法二：建立坐标系，立即得目标函数。由题设知，PBC的面积为1，以B为原点，BC所在直线为x轴，过点B与直线BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设2(,0),(,)(0)CaPtaa，则22(,),(,),PBtPCataa∴222222443()()02324aaPCPBBCtatataa，当且仅当416,23ata时取等号，∴2BCPBPC的最小值是23。（南京二模）设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角（1）若a·b=613,求sinθ+cosθ的值；（2）若a//b,求sin(2θ+3)的值．解：（1）因为a·b＝2＋sinθcosθ＝136，所以sinθcosθ＝16．………………2分所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43．又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝233．………………5分（2）解法一因为a∥b，所以tanθ＝2．………………7分所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝45，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35．………………11分所以sin(2θ＋π3)＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35)＝4－3310．………………14分（江苏最后1卷）已知△中，∠A，∠B，∠C的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设向量，，求当取最大值时，的值．解：（1）由题意，所以.因为，所以.所以.因为，所以.（2）因为所以所以当时，取最大值ABC,,abc2coscoscosaBcBbCB(cos,cos2)mAA(12,5)nmntan()4A2sincossincoscossinABCBCB2sincossin()sin()sinABBCAA0Apsin0A¹1cos2B0Bp3B12cos5cos2mnAA2234310cos12cos510(cos)55mnAAA3cos5Amn20070316此时（），于是，所以（2012年常州期末）已知、,向量。（1）当时，若，求的取值范围；（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围。18.（2012年兴化）如图，点P是单位圆在第一象限上的任意一点，点)0,1(A,点)1,0(B,PA与y轴于点N,PB与x轴交于点M,设PNyPMxPO,),(Ryx,)sin,(cosP．（1）求点M、点N的坐标，（用表示）；（2）求yx的取值范围．解：（1）因为PA与y轴交与于点N，可设),,0(tN由P、N、A三点共线，设APAN,R①又)0,1(A，)sin,(cosP，所以),1(tAN，)sin,1(cosAP，代入①，有sin),1(cos1t，因为点P是单位圆在第一象限上的任意一点，所以,0sin,0cos且20，所以cos1sint，此时)cos1sin,0(N,…………………………4分同理)0,sin1cos(M．…………………………7分4sin5A0Ap4tan3Atan11tan()4tan17AAAmxR(,),((1),)axmbmxx0m||||abx1abmxmPMABNxyO说明:可以用直线方程或比例等其他方法求解（2）由（1）知)sin,cos(PO，)sin,sin1cossin()sin,cossin1cos(PM，)cos1cossin,cos()sincos1sin,cos(PN，………………9分代入PNyPMxPO，得：yx)cos(sin1cossincos，整理得sin1)sin1(sinyx②yxcos1cossinsinsin，整理得cos1cos)cos1(yx③②+③，解得：)4sin(2111cossin111cossin1cossin2yx，……12分由20，知1)4sin(22，所以]21,2()4sin(21，即)211,2111[yx，故yx的取值范围为)23,2[．………………15分