高中数学对数与对数运算

2.2.1对数与对数运算（一）一、引入课题（62--64）1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(21)4＝？(21)x＝0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数二、新课教学1．对数的概念一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数（Logarithm），记作：Nxaloga—底数，N—真数，Nalog—对数式说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．提出问题①为什么在对数定义中规定a0,a≠1?②根据对数定义求loga1和logaa(a0,a≠1)的值.Nalog③负数与零有没有对数?④Naalog=N与logaab=b(a0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）21;若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.②loga1=0,logaa=1.因为对任意a0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.同样易知：logaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.④因为ab=N,所以b=logaN,ab=Naalog=N,即Naalog=N.因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(Naalog=N叫对数恒等式)对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1logaa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog．两个重要对数：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式(课本63页)：（1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m=5.73;(4)log2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.例2求下列各式中x的值（课本63页）:（1）log64x=32;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.变式训练1、求下列各式中的x：①log4x=21;②logx27=43;③log5（log10x）=1.解：①由log4x=21,得x=421=2;②由logx27=43,得x43=27,所以x=2734=81;③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16.解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log391;(7)-2=log4116.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log731;(5)log216=4;(6)log3127=-3;(7)logx3=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=32;(2)logx27=43;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.解：(1)因为log8x=32,所以x=832=(23)32=)32(32=2-2=41;(2)因为logx27=43,所以x43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=32,即log84=32;(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.