高中数学导数的应用

导数在实际问题中的应用内容再现1、函数的单调性与其导数正负的关系：在某个区间,ab内，如果，那么函数yfx在这个区间内单调递增；在某个区间,ab内，如果，那么函数yfx在这个区间内单调递减；若恒有，则函数yfx在这个区间内是常函数。2、利用函数判断函数值的增减快慢：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。3、判断函数极大、极小值的方法:解方程'00fx，当'00fx时：（1）如果在0x附近的左侧，右侧，那么0fx是极大值，0x是极大值点。（2）如果在0x附近的左侧，右侧，那么0fx是极小值点。4、（1）函数fx的闭区间,ab上的最值：如果在闭区间,ab上函数yfx的图像是一条曲线，则该函数在,ab上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。（2）求函数yfx在区间,ab上的最值的步骤：求函数yfx在,ab的；将函数yfx的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。三、巩固练习1、已知函数)(xfy在区间),(ba内可导，且),(0bax，则hhxfhxfh)()(lim000()(A))('0xf(B))('20xf(C))('20xf(D)02、函数xxyln在区间()(A))1,0(e上单调递减(B)),1(e上单调递减(C)),0(上单调递减(D)),0(上单调递增3、已知axxxf233)()(Ra在]33[，上有最小值3，则在]33[，上，)(xf的最大值是4、已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值1、'0fx'0fx'0fx2、大、小3、（1）增、减（2）减、增4、（1）连续最大值最小值端点极值点（2）极大值、极值点、端点巩固练习答案：1、B2、A3、574、解(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时，有211m，当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx0000()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx又0m所以222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,03知识点梳理：1、解应用题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导学应用）（检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yfx；注意x的范围。（2）利用导数求函数()fx的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。DCxOABy（3）把数学问题的解答转化为实际问题的答案。2、能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。（1）生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。（2）在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；（3）在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；（4）在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足'()0fx的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。五、典型例题1、一个物体的运动方程为21stt=-+其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A、7米/秒B、6米/秒C、5米/秒D、8米/秒2、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为（）A．长102米，宽515000米B．长150米，宽66米C．长宽均为100米222224D．长100米，宽3200米4、过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积是5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100人不组团)7、某机车拖运货物时对货物所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：753tttw)(。(1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求在t=1s和t=3s时,该机车每秒做的功。8、用长为90cm，宽为48cm的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？9、某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？11、用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？六、课堂练习1、一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=41t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是（）A4s末B8s末C0s与8s末D0s,4s,8s末2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A2033cmB100cmC20cmD203cm3、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（）A．a/bB．a2/bC．b/aD．b2/a4、某天中午12时整甲船自A处以每小时16公里的速度向正东行驶，乙船自A的正北18公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船间的距离对时间的变化率是。5、函数2cosyxx在0,2上取最大值时，x的值为___.6、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为时，材料最省。7、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－51x2,且生产xt的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？10、已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米每小时）的函数解析式为：，已知甲乙两地相距100千米。（1）当汽车以每小时40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？)1200(,880312800013xxxy七、家庭作业1、某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)80000(x400)，则总利润最大时，每年生产的产品是________．2、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.3、如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4s时的瞬时速度为()A．12B．－12C．4D．－44、从时间t＝0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时的电流强度为()A．27C/sB．20C/sC．25C/sD．23C/s5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．6、如果一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝t3＋3.求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；(2)t＝4时，物体的速度v(4)；(3)t＝4时，物体的加速度a(4)．7、、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为ym.(1)设∠CA1O=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．8、已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.9、设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=142xax.(1)求f(α)·f(β)的值；(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？10、某地建一座桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m米，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算