高中数学常见易错点提醒

1高中数学常见易错点提醒易错点1忽视空集致误1．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A．求实数m的取值范围．错解∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，∴A＝{x|－2≤x≤5}．由A∪B＝A知B⊆A，∴－2≤m＋12m－1≤5，即－3≤m≤3，∴m的取值范围是－3≤m≤3．找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝的讨论，是本题的一个失分点．正解∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．①若B＝，则m＋1＞2m－1，即m2，故m2时，A∪B＝A；②若B≠，如图所示，则m＋1≤2m－1，即m≥2．由B⊆A得－2≤m＋12m－1≤5解得－3≤m≤3．又∵m≥2，∴2≤m≤3．由①②知，当m≤3时，A∪B＝A．易错点2对命题的否定不当致误2．已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∈∕M，则a的取值范围是________．错解(－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点5∈∕M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a＋105a－25＞0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．正解方法一∵5∈∕M，∴5a＋105a－25＞0或5a－25＝0，∴a＜－2或a＞5或a＝5，故填a≥5或a＜－2．方法二若5∈M，则5a＋105a－25≤0，2∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，∴5∈∕M时，a－2或a≥5．答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)易错点3充要条件判断不准3．“x2＝x＋2”是“xx＋2＝x2”的________条件．错解1由x2＝x＋2⇒x＝x＋2⇒x2＝xx＋2得出“x2＝x＋2”是“xx＋2＝x2”的充分条件．错解2由xx＋2＝x2⇒x＋2＝x⇒x＋2＝x2得出“x2＝x＋2”是“xx＋2＝x2”的必要条件．找准失分点错解1中，事实上x2＝x＋2不能x＝x＋2；错解2中，xx＋2＝x2也不能x＋2＝x．正解方程x2＝x＋2的解集为{－1，2}，xx＋2＝x2的解集为{0，2}，所以“x2＝x＋2”是“xx＋2＝x2”的既不充分也不必要条件．答案既不充分也不必要易错点4函数概念不清致误4．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．错解由x2x2－4＞0，得x＞2或x＜－2．∴函数f(x)的定义域为{x|x＞2或x＜－2}．找准失分点错把lgx2x2－4的定义域当成了f(x)的定义域．正解由f(x2－3)＝lgx2x2－4，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lgt＋3t－1．∵x2x2－4＞0，即x2＞4，∴t＋3＞4，即t＞1．∴f(x)的定义域为{x|x＞1}．易错点5忽视函数的定义域致误5．判断函数f(x)＝(1＋x)1－x1＋x的奇偶性．错解因为f(x)＝(1＋x)1－x1＋x＝1－x1＋x(1＋x)2＝1－x2，所以f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2＝f(x)，3所以f(x)＝(1＋x)1－x1＋x是偶函数．找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)．正解f(x)＝(1＋x)1－x1＋x有意义时必须满足1－x1＋x≥0⇒－1＜x≤1，即函数的定义域是{x|－1＜x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．6．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是．错解由f(1－x2)＞f(2x)得1－x2＞2x，即－1－2＜x＜－1＋2．找准失分点在解决分段函数的问题时，先要判断其在各个定义域内的单调性，其次要看所求参数或取值范围是否满足相应的定义域，本题容易忽视1－x2＞0．正解画出f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x＜0的图象，由图象知：若f(1－x2)＞f(2x)，则1－x2＞01－x2＞2x，即－1＜x＜－1＋2．易错点6混淆“切点”致误7．求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．错解∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x20－2．∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－12.故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－(－18＋1)＝(34－2)(x＋12)，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.易错点7极值的概念不清致误8．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错解－7或04找准失分点x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0不能得出x＝1是f(x)的极值点”的情况．正解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得f′(1)＝3＋2a＋b＝0f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10解得：a＝4b＝－11或a＝－3b＝3当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7．答案－7易错点8图象变换方向或变换量把握不准致误9．要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝22(cos3x－sin3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右π4或右π12找准失分点y＝22(cos3x－sin3x)＝sinπ4－3x＝sin－3x－π12.题目要求是由y＝sin－3x＋π4→y＝sin(－3x)．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解y＝22(cos3x－sin3x)＝sinπ4－3x＝sin－3x－π12，要由y＝sin－3x－π12得到y＝sin(－3x)只需对x加上π12即可，因而是对y＝22(cos3x－sin3x)向左平移π12个单位．答案左π12易错点9忽视隐含条件的挖掘致误510．已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求cosβ.错解由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，则cos(α＋β)＝±1114.由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝437．故cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝7198或12．找准失分点由0＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝5314＜32，所以0＜α＋β＜π3或2π3＜α＋β＜π，又cosα＝17＜12，∴π3＜α＜π2，即α＋β∈2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114．正解∵0＜α＜π2且cosα＝17＜cosπ3＝12，∴π3＜α＜π2，又0＜β＜π2，∴π3＜α＋β＜π，又sin(α＋β)＝5314＜32，∴2π3＜α＋β＜π．∴cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－1114，sinα＝1－cos2α＝437．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12．易错点10忽视向量共线致误11．已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解∵cosθ＝a·b|a|·|b|＝2λ＋15·λ2＋1．因θ为锐角，有cosθ＞0，∴2λ＋15·λ2＋1＞0⇒2λ＋1＞0，得λ＞－12，λ的取值范围是－12，＋∞.找准失分点θ为锐角，故0＜cosθ＜1，错解中没有排除cosθ＝1即共线且同向的情况．正解由θ为锐角，有0＜cosθ＜1．又∵cosθ＝a·b|a|·|b|＝2λ＋15·λ2＋1，6∴0＜2λ＋15·λ2＋1≠1，∴2λ＋1＞0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得λ＞－12λ≠2∴λ的取值范围是{λ|λ＞－12且λ≠2}．答案{λ|λ＞－12且λ≠2}易错点11错误理解向量的平移就是点的平移致误12．已知点A(3，7)，B(5，2)，向量AB→按a＝(1，2)平移后所得向量是．错解(3，－3)正解向量AB→平移后所得向量还是向量AB→＝(2，－5)．易错点12忽视角的范围，导致漏解13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3．(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sinA，求△ABC的面积．错解(2)由sinC＋sin(B－A)＝2sinA得，sinBcosA＝2sinAcosA，即sinB＝2sinA，找准失分点由sinBcosA＝2sinAcosA，得sinB＝2sinA或cosA＝0，故有两种情况．正解(1)由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝4，S＝12absinC＝3，即ab＝4，解得a＝b＝2．(2)由sinC＋sin(B－A)＝2sinA得，sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝90°，B＝30°，a＝csinC＝433，b＝acosC＝233，∴S＝12bc＝233．当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，又c2＝a2＋b2－ab＝4，解得a＝233，b＝433．∴S＝12absinC＝233．综上所述，三角形的面积为233．7易错点13应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)时，忽视n≥2从而导致错误14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，求数列的通项an．错解an＝Sn－Sn－1＝2n－1．正解n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－1，∴an＝3，n＝1，2n－1，n≥2易错点14在等比数列求和时忽视对公比是否为1的讨论15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．错解－1找准失分点当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1．正解①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得a1(1－q3)1－q＋a1(1－q6)1－q＝a1(1－q9)1－q∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1．答案1或－1易错点15忽视分类讨论或讨论不当致误16．若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|．错解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤254，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132所以Sk＝2k2－23k＋132.找准失分点忽视了k≤6的情况，只给出了k≥7的情况．正解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤254，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.当k≤6时，Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝a1＋a2＋…＋ak＝－2k2＋23k．8当k≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋