高中数学必修一教材分析

高中数学必修一教材分析李涛陕西师大附中710061作为新课程高中数学的起始模块—必修一，它是由“第一章集合、第二章函数、第三章指数函数和对数函数、第四章函数应用”四部分内容组成.尽管“集合、函数、指数函数和对数函数”这三部分内容属于我国高中数学课程的传统内容，但和《全日制普通高级中学数学教学大纲（2002年颁布）》版教材（下称《大纲》版教材）相比,《高中数学课程标准》版教材（由于我省各地市使用的数学教材均为北师大版,所以,下边的讨论均以北师大版教材为基础,并简称其为《标准》版教材）以《高中数学课程标准》为基础对其所涉及的相当一部分内容作了新的处理，在要求上也有了一定程度的变化.“第四章函数应用”内容包括“函数与方程、实际问题的函数建模”两部分，这是新课程中增加的新内容，旨在突出“函数与方程”的数学思想、强调数学的实际应用.下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一分析.1集合集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理.本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如，§2集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一起，并给出自集的概念；§3集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习.1.1课程标准要求（1）集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1.2教学目标集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.1.2.1知识与技能⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号.⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.⑷了解全集与空集的含义.⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.⑺能使用Venn图表达集合的关系及运算.1.2.2过程与方法⑴从学生比较熟悉的实例入手，通过列举丰富的实例，了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.⑵创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.⑶借助几何直观，运用Venn图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算，从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题，体现数形结合的思想.1.2.3情感、态度、价值观⑴在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成事实求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题.⑵通过直观感知，类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识.1.3知识结构与教学安排1.3.1知识结构1.3.2教学顺序1.3.2课时安排§1集合的含义与表示约1课时§2集合的基本关系约1课时§3.1交集与并集约1课时§3.2全集与补集约1课时复习小结约1课时1.4教学重点和难点第一章集合现代数学的基石集合的含义与表示集合是一种数学语言集合的基本关系集合的基本运算交集与并集全集与补集集合间的内在联系集合间的三种基本运算集合集合的含义及表示列举法描述法Venn图集合的基本关系集合的基本运算包含相等补集并集交集1.4.1教学重点（1）集合的概念与表示.（2）集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.（3）交集与并集、全集与补集的概念.1.4.2教学难点（1）运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合.（2）属于关系与包含关系的区别.（3）交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系.1.5教学建议1.5.1把握课标、教材的定位，明确教学目标●集合作为一种数学语言来学习，尽管集合是数学的一个重要概念，但教材中给出的集合的概念只是一个描述性的说明，在教学中注意通过实例使学生对集合的概念有一个初步认识●不抠概念，只要求能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题1.5.2充分利用几何直观●注重图形（Venn图和数轴）的直观作用。利用图形帮助学生理解集合的有关概念，并能够用图形直观地认识集合的运算性质（这些性质不予证明）。1.5.3集合教学中要注意的问题●用学生熟悉的例子学习集合，不引入陌生问题●熟练准确地运用集合语言，是要靠长期积累的，这里只是初步掌握，将在后面学习中提高，切忌“一步到位”●不强调细枝末节，如集合的“三性”（确定性，无序性，互异性）2函数20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数(映射)的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。函数各章除三角函数外，基本集中在必修1中，分为第二章、第三章、第四章。本章是第二章，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，将函数的思想方法贯串于初中学的几种基本函数的再认识过程；而在第三章将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，具体体会两种函数模型的知识和研究规律；第四章结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。显然，本章是整个函数体系的根部，其函数概念是高中数学的核心概念，是函数体系生成的种子；其三要素问题，会成为把握各种函数（如指数函数、对数函数）内涵的基点；其表示法为各种函数（如指数函数、对数函数）的运用示范了三种常见形态，且引出的分段函数是进一步理解函数概念、进而提高各种函数（如指数函数、对数函数）运用能力的绝好材料；而映射的学习，强调了函数概念的动态性和在两个集合间进行信息沟通的功能，有利于函数的理论研究，从而推动各种函数（如指数函数、对数函数）的理论学习和研究，这显然弥补了变量观点下函数概念的不足；函数单调性在各种函数研究中有着特殊的地位，本章在初中函数值变化的基础上，进行了数式刻画，就严格的概念、判断、证明等进行专门学习和训练，随后还学习了奇偶性及其判断，为各种函数（如指数函数、对数函数）的运用做好准备；本章还专门设置了“二次函数再认识”一节，既是为各种函数（如指数函数、对数函数）走向综合运用作进一步的知识准备，也是由函数新的理论层面（概念、表示、性质）来重新理解和描述已学函数模型的一个较为完整的过程，为下一章指数函数、对数函数的研究提供方法上的示范，随后还渗透了幂函数，使下一章集中更多精力研究指数函数和对数函数。本章第一节着重联系函数与生活的关系，并展现生活中变量关系的丰富性，把函数作为变量关系的特殊化；函数概念的展开过程把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来处理，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法.这些处理，实际上在有效地发展着学生对实际问题的抽象意识和对变量数学的认识，从而为发展学生的函数意识和函数建模能力作必要的分解和铺垫；这种意识层的铺垫，加上本章以一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数为模的建模渗透，以及下一章以指数函数、对数函数为模的建模渗透，即可促成第四章中通性意义上的函数建模训练及三个分解步骤的展开。总之，本章是函数的核心部位，也是必修1的核心部位。前面学习的集合为本章“函数的再认识”提供了背景；而本章着重研究了函数的一般性知识，为后面进行的具体函数理论研究作了基础性和工具性的准备，同时，也为后面进行实际应用作了理论和意识层的准备，也为建模训练作了感性积累。2.1课程标准要求①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质。⑥通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图象，了解它们的变化情况。2.2教学目标2.2.1知识与技能⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念.⑶了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.⑷能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.⑸了解简单的分段函数，并能简单应用.⑹了解映射的概念.⑺了解增函数、减函数的概念，理解函数的单调性，能利用单调性的定义判断函数的单调性.⑻理解二次函数的图象变换，掌握二次函数的性质，并会利用二次函数的图象和性质求最值.⑼了解幂函数的概念，结合函数12312,,,,yxyxyxyxyx的图象，了解幂函数的图象的变化情况.⑽了解函数奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能根据函数的奇偶性解决有关问题.⑾能运用函数的图象理解和研究函数的性质.2.2.2过程与方法⑴在复习初中函数定义的基础上，从贴近学生实际出发，结合具体的实例理解函数的定义，会求简单函数的定义域和值域，并会用集合、区间、不等式表示它们.⑵通过学习函数常用的三种表示方法及相关实例进一步理解函数的概念.同时在学习映射概念的基础上明确两者之间的区别与联系——函数是特殊的映射，映射是函数的推广.⑶在作二次函数图象的过程中，学会体会图象之间的变换规律，理解二次函数图象与,,abc的关系.⑷先给出几个特殊函数的图象，通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立.在此基础上建立奇偶函数的概念.2.2.3情感、态度、价值观⑴引导学生从集合、对应出发来理解抽象的函数概念，学会函数的表示方法.从众多现实问题中抽象出本质属性，培养学生的严谨意识及分析问题、处理问题的能力.⑵通过实例，感受函数概念在客观实际中的重要意义，进一步体会数形结合的重要性.⑶从图象的变化过程，学会认识事物由简单到复杂，由具体到抽象的变化规律.⑷通过研究奇偶函数的