高中数学思想方法

浅谈高中数学教学中如何把握数学思想方法的渗透07级2曾宝林摘要：所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，如何在中学数学教材中体现数学思想方法，有意识地向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题。并且我们必须重视数学思想方法，深化数学教材改革，让学生学会用数学思想方法分析问题、解决问题，切实实现素质教育的要求。关键词：数学思想方法数学教学渗透数学思想蕴涵于数学知识中，又相对超脱于我们所学的数学知识。世上没有单纯的知识教学，也没有不包含任何数学思想的数学知识，这两者在教学过程中，是相辅相成的。数学知识的学习过程，其实是学生数学基础知识与数学思想逐渐形成的过程。我们的教学实践也表明：高中数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键，特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求。一、高中数学思想方法对数学教学有着重要的作用数学思想与数学方法目前尚没有确切的定义，我们通常认为，数学思想就是“人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。就中学数学知识体系而言，中学数学思想往往是数学思想中最常见、最基本、比较浅显的内容，例如：统计思想、化归思想、分类思想等。数学思想的高层次的理解，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，任何一个数学分支理论的建立，都是数学思想的应用与体现。所谓数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。由于数学是逐层抽象的，数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性特点，层次越低操作性越强。如变换方法包括恒等变换，恒等变换中又分换元法、配方法、待定系数法等等。可见，数学思想和数学方法有区别也有联系，在解决数学问题时，总的指导思想是把问题化归为能解决的问题，而为实现化归，常用如一般化、特殊化、类比、归纳、恒等变形等方法，这时又常称用化归方法。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。高中数学教育大纲中明确指出数学基础知识是指：数学中的的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由数学基础内容反映出来的数学思想方法。可见数学思想方法是数学基础知识的内容，而这些数学思想方法是融合在数学概念、定理、公式、法则、定义之中的。在高中数学中，主要数学思想有分类思想、集合对应思想、等量思想、函数思想、数形结合思想、统计思想和转化思想。与之对应的数学方法有理论形成的方法，如观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法，还有解决问题的具体方法，如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、综合等方法。这些数学思想与方法，在教材的编写中被突出的显现出来。在高中数学教材中，一方面以抽象性更强的高中数学知识为载体，从更高层次延续初中涉及的那些数学思想方法的学习应用，如函数与映射思想、分类思想、集合对应思想、数形结合思想、统计思想和化归思想等。另一方面，结合高中数学知识，介绍了一些新的数学思想方法，如向量思想、极限思想，微积分方法等。二、教师应如何把握数学思想方法如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的，将完全背离数学教育的目标。在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”，解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。三、教师在教学中渗透数学思想方法应遵循以下原则（1）渗透性原则：数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的，所以采用渗透方式要不失时机地抓住机会，密切结合教材，不断地、一点一滴地再现有关数学思想方法，逐步地加深学生对数学思想方法的认识。（2）渐进性原则：数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，小步地渐进。（3）发展性原则：用渗透方式进行数学思想方法教学，开始时起点要低，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”并“会学”，在思维素质方面有所发展。（4）学生参与原则：所谓参与就是要求学生在教学过程中充分发挥他们的主体作用，遵循认识规律，运用他们自己的器官（五官、手、脑），通过他们自己的学习活动，去探索数学思想方法的真谛。四、高中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透（1）提高渗透的自觉性数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。（2）把握渗透的可行性数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。（3）注重渗透的反复性数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类应用题的关键，找到具体数量的对应分率，从而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。五．在高中教学中渗透数学思想方法的尝试数学思想、数学方法很多，这里仅就高中教材中和高考试题中常见的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想作些探讨。（1）函数与方程的思想：就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。高中数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。下面举例说明：例：已知数列｛na｝是等差数列，若ns=10，2ns=50，求3ns=？分析：本题可依照“等差数列中依次每k项之和仍成等差数列”的性质去求解，但如果能想到nsn是关于ｎ的一次函数，其图象直线上的离散点，利用点共线的条件建立方程求解。解：由条件知数列｛nsn｝是等差数列，∴（ｎ，nsn），（2ｎ，2nsn），（3ｎ，3nsn）三点共线列方程∴解得3ns=120可见用函数与方程思想加以解决十分重要。（2）数形结合的思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。高中数学教材中处处都蕴涵着数形结合的思想，下面举例说明：例：已知实数x，y满足2x+2y=1，求m=13yx的最值。分析：本题利用数形结合的思想，得出m的最值是点A（—3，—1）与圆2x+2y=1上的动点M（x，y）的连线斜率的最值。解：m=13yx=(1)(3)yx，可知m的最值是点A（—3，—1）与圆2x+2y=1上的动点M（x，y）的连线斜率的最值，如图可知：当过A点的直线与圆切于1M斜率最小；当切于2M时斜率最大，由点O（0，0）到直线mx—y+3m—1=0的距离等于半径，容易计算出maxm=34，minm=0（3）分类讨论的思想：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整。下面举例说明：例：解关于x的不等式2x—（a+2a）x+3a＞0（a∈R）分析：在解含参数的一元一次不等式、二次不等式时，引起分类讨论的主要原因是对不等式对应的方程根的大小的判定。解：将原不等式变形为（x—a）（x—2a）＞0当a＜0时，有a＜2a，解为x＜a或x＞2a；当0＜a＜1时，有a＞2a，解为x＜2a或x＞a；当a＞1时，有a＜2a，解为x＜a或x＞2a；当a=0时，解为x≠0当a=1时，解为x≠1综上可知：当a≤0或a≥1时，原不等式的解集为﹛x︱x＜a或x＞2a﹜；当0＜a＜1时，原不等式的解集为﹛x︱x＜2a或x＞a﹜。（4）等价转化的思想：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。高中数学涉及最多的是转化思想，如超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化、常量与变量的转化等，为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。下面举例说明：例：设不等式2x—1＞m（2x—1）对满足︱m︱≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。分析：本题若把不等式看作关于x的二次不等式，则求解过程麻烦；若把不等式看作是关于m的一次不等式，则可以简化求解过程，这就是常量与变量的转化。解：令f（m）=—（2x—1）m+2x—1，m∈2,2，则原不等式等价于f（m）＞0恒成立，m∈2,2。由于f（m）是关于m的一次函数或常数函数，故有(2)0(2)0ff即222(1)2102(1)210xxxx解之得：11(71)(31)22x所以实数x的取值范围是11(71)(31)22x综上例题可知，数学思