高中数学思想方法专题

高中专题复习----数学思想方法专辑第1页共7页高中数学思想方法及解题策略数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识，发展学生智力最经济、有效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查近几年高考卷中出现的数学思想方法有：（1）数形结合。（2）分类讨论思想。（3）方程思想。（4）函数建模思想（5）化归思想一、函数与方程思想1．函数是中学数学的主线。可以说无处不函数，高考函数比重每年都较大著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想，其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上③作为函数概念的基础——集合与映射，已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现④其他数学问题，特别是体现参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决函数在高考中的重要地位：试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用分成逐渐提高的4个层次：第一层次：解方程第二层次：带参变数的方程的讨论第三层次：转化为方程的讨论第四层次：构造方程求解问题例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.(110)例2：已知关于x方程sin2x+acosx-2a=0总有解，则实数a的取值范围是．（3240a）例3：已知)(131211*NnnSn，设112)(nnSSnf，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，不等式2)1(log)(mnfm－2)1(log2011mm恒成立．（2,251mm且）注：在有关不等式问题中，要区分以下命题：高中专题复习----数学思想方法专辑第2页共7页①)(xfa恒成立max)(xfa②)(xfa恒成立min)(xfa；③)(xfa有解max)(xfa④)(xfa有解min)(xfa.对于“恒成立”的不等式，一般地，解决的途径为：分离系数——求最值例4：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费。若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量／（m3）水费（元）1992151932233根据上表中的数据，求a、b、c．（10、2、1）例5：已知0lglg4lg2cbbaac，求证：ac=b2．例6：设abc且a+b+c=0，抛物线y=ax2+2bx+c被x轴截得的弦长为l，证明：323l．二、数形结合思想华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，高中阶段用得较多的是“以形助数”1．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：①建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解；②转化为熟悉的几何模型来求解；③构造几何模型来求解．2．数形结合的主要渠道有：①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题；②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、区域与不等式；③函数与其图象间的几何变换；④向量的几何意义；⑤三角函数中单位圆中的三角函数线及正、余弦函数的图象变换；⑥复数的几何意义；⑦立体几何模型．其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍，是中学数学数形结合思想方法的最重要的部分．3．数形结合思想常联想的数学模型：①联想一元一次函数图像；②联想一元二次函数图像；③联想定比分点公式；④联想斜率公式；⑤联想两点间的距离公式；⑥联想点到直线的距离公式；⑦联想直线的夹角公式．4．数形结合思想常可以构造的几何模型：①构造单位圆解题；②构造椭圆解题；③构造双曲线解题；④构造抛物线解题；⑤构造三角形解题；⑥构造物理知识模型．5．高考中，用数形结合思想的题常有下面几种类型：①利用图形求值；②利用图形求解的个数；③利用图形求参数的范围；④利用图形解不高中专题复习----数学思想方法专辑第3页共7页等式；⑤利用图形求最值；⑥利用方程、点的坐标研究图形的关系、形状等；⑦利用函数式研究图像的性质等等．难点在于学生参与数与形的体验水平转化是目的，作图是基础，识图是关键例7：已知01yx，则22)1()1(yx的最小值是．（223）例8：（2000年全国）函数axxxf1)(2，其中0a．①解不等式1)(xf；(常规方法或画图像)②证明：当1a时，函数)(xf在区间,0上是单调的．(求导)例9：函数)2)(2sin()(xAxf对任意实数x有)3()3(xfxf，且图像过点(0,1)，则A的值为（）(A)1(B)2(C)332(D)3例10：当曲线241:xyE与直线4)2(:xkyl有两个交点时，实数K的取值范围是（）B),125)((A]43,125)((B)125,0)((C]43,31)((D例11：已知变量x，y满足0520402yxyxyx，求：①42yxz的最大值；（21）②251022yyxz的最小值；（29）③112xyz的取值范围．（27,43）例12：如果实数a、b、c、d满足：高中专题复习----数学思想方法专辑第4页共7页044404422222dcdcbaba，求2)(ca＋2)(db的最大值和最小值．644例13：lgx+x-3=0的根记为x110x+x-3=0的根记为x2x1+x2=（3）三、化归与转化思想数学思想中的一条重要原则是不断地变更问题，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另外一个数学分支中的问题，以利于问题的解决．化归是一种运动，只有在不断的运动中，矛盾才能解决“解题过程就是不断变更题目的过程”化归要求我们换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言叙述，用另一种观点处理问题，化归思想包括了我们所研究过的许多数学思想和方法，用化归方法解题时要求学生的思维一定要有灵活性，多样性，多联想，多开放总的指导思想是：⑴化难为易；⑵化生为熟；⑶化繁为简化归与转化思想的主要解题途径：⑴未知问题转化成已知。⑵函数与方程、不等式间的转化。⑶空间与平面的转化。⑷数与形之间的转化。⑸一般与特殊的转化。⑹等与不等的转化。⑺高次与低次的转化。⑻整体与局部的相互转化。⑼正与反的转化。常见的转化方法有：⑴直接转化法。⑵换元法。⑶数形结合法。⑷参数法。⑸构造法。⑹坐标法：（立体几何与解析几何）⑺类比法。⑻特殊化方法。⑼一般化方法。⑽等价问题法。⑾加强命题法。⑿补集法。以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割例13：若实数x,y满足：x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是（）(A)10(B)5(C)9(D)5+25例14：已知),2(,51cossin，则tg（）B43)(A34)(B43)(C34)(D例15：求函数xxaxf2cossin42)(的最大值和最小值．（)0(43)0(43maxaaaay；)1(43)11(21)1(432minaaaaaay）例16：已知：2311:xp，012:22mxxq，若p是q的必要不充高中专题复习----数学思想方法专辑第5页共7页分条件，求实数m的取值范围．99mm或例17：若、是关于u的方程cubua2sin2cos（20c≤2a＋2b）的两个不等实根。试证明：222222coscosbaacba.例18：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1、CD1的中点．①证明：ADD1F；②求AE与D1F所成角；③证明：面AED面A1FD1；④设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积．例19：设0a1,，定义a1=1+a，an+1=na1+a，求证对一切正整数n，有an1．(理科数学归纳)四、分类与讨论思想当一个数学问题比较复杂时，可以将其分割成若干个小问题或分解为一系列的步骤，通过局部的解决来实现整体的完成，这就是分类与讨论的基本想法．分类的好处至少有两条：其一：把大问题分为小问题时，常能达到简单化的目的其二：分类标准本身等于增加了一个已知条件，实现了有效增设高考中考生的主要问题：分类不合理或讨论不全面而造成大量失分（一）引起分类讨论的因素分析1．由概念的定义引起的分类讨论有些概念是分类定义的，在解决问题时，必然引起分类讨论；有些概念在定义时，明确了范围，也将引起分类讨论例20：解不等式131loglog331xx．（349430xxx或）例21：（06四川理第12题）从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（）（B）5419)(A5435)(B5438)(C6041)(D2．由性质、定理及公式引起的分类讨论某些数学性质、公式或定理在不同的条件下有不同的结论，或者需在一定的限制条件下才成立，在解决这类问题时可能引起分类讨论．1D1C1A1BEDFCAB高中专题复习----数学思想方法专辑第6页共7页例22：（06四川理）已知数列na，其中11a，32a，na2＝11nnaa（n≥2）．记数列na的前n项和为nS，数列nSln的前n项和为nU．（Ⅰ）求nU；（Ⅱ）设nUnxnnexFn22)!(2)(，)()(1'xFxTnkkn，（其中)('xFk为)(xFk的导函数），计算)()(lim1xTxTnnn．3．由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数（常数）的问题，由于参数的取值范围不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推算方法，这时需要分类讨论．例23：已知函数axexxf2)(，其中0a，e为自然对数的底数．①讨论)(xf的单调性；②求函数)(xf在区间1,0上的最大值．4．其他①在变形过程中往往需要一些条件限制，进而引起分类讨论②由几何图形的不确定性引起的分类讨论例24：求与椭圆1322yx有公共焦点且过点)2,5(P的圆锥曲线的方程．分析：本题由于圆锥曲线以椭圆的焦点为焦点，它可能是椭圆，也可能是双曲线，因此需分两种类型分别求解．利用待定系数法可求得椭圆为181022yx，双曲线为122yx．（二）怎样合理分类分类应遵循下列原则：若全域为A，分类成子集),,2,1(niAi，iA必须满足：①AAAAn21；高中专题复习----数学思想方法专辑第7页共7页②),,2,1,,,2,1,(njnijiAAji即：不重不漏讨论题是高考数学常见的题型之一，对问题进行讨论的步骤是：①确定讨论的对象②对所讨论的对象进行合理分类（分类应做到不重不漏）③逐类讨论④归纳总结需要讨论的问