高中数学思想方法之“函数与方程思想”

1高中数学思想方法之“函数与方程思想”（2012.8.6）一、知识整合：函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题．此外，运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，最典型的例子上三个“二次”之前的关系。二、典型例题：例1、已知不等式272(1)xxm对[2,2]m恒成立，求实数x的取值范围2例2、方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围．例3、关于x的不等式232x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围例4：若,ab是正数，且满足3abab，求ab的取值范围。三、巩固练习：1．已知函数2xfxx()，lngxxx()，1hxxx()的零点分别为123xxx，，，则123xxx，，的大小关系是（）A．123xxxB．213xxxC．132xxxD．321xxx2．已知函数sinfxxx，若12,[,]22xx且12fxfx，则下列不等式中正确的是A．12xxB．12xxC．120xxD．2212xx3、已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＞0，f(x2)＞04．不等式aaxx3132对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为3A．(,1][4,)B．[1,4]C．[1,2]D．(,1][2,)5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－2，－1)D．(1,2)6．定义在R上的函数()yfx，满足(3)()fxfx，3()'()02xfx，若x1x2，且x1+x23，则有()数学驿站．12()()fxfxB．12()()fxfxC．12()()fxfxD．不确定7．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有两个零点C．有且仅有一个零点D．有无穷多个零点8．设函数()1,[,1],fxnxnnnN，则满足方程2()logfxx根的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个9．已知函数2()2(4)4fxxmxm，()gxmx，若对于任一实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A．[4,4]B．(4,4)C．(,4)D．(,4)10．已知函数f(x)＝(13)x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于011.对于满足40p的一切实数,不等式342pxpxx恒成立,则x的取值范围是（）.A.)0,(B.),3(C.),3()1,(D.)3,1(12．设函数()fx的定义域为R，若存在常数0M，使|()|||fxMx对一切实数x均成立，则称()fx为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2fxx；②2()1fxx；③()sincosfxxx；④2()3xfxxx；⑤()fx是定义在实数集R上的奇函数，且对一切1x，2x均有1212|()()|2||fxfxxx．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13、若使得方程0162mxx有实数解，则实数m的取值范围为（）2424.mA244.mB44.mC244.mD14、方程3)2(42xkx有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．)125,0(B．]43,31[C．),125(D．]43,125(15．若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________.16．若函数()xfxaxa有两个零点，则实数a的取值范围是.17．已知实数,mn满足01nm,给出下列关系式：①23mn②23loglogmn③23mn4其中可能成立的是18．设正数xy、满足220xy，则lglgxy的最大值为．19.已知m为非零实数，若函数lg(1)1myx的图象关于原点成中心对称，则m20．若函数f(x)＝ax＋b(0)b有一个零点是1，则方程bx2－ax=0的根是________．21、已知函数f(x)＝x2＋2ex＋m1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若方程g(x)＝t有实根，求t的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)＝0有两个相异实根．22．有一批材料可以建成长为m200的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？23．设f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．24、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消5耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝35kx(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．函数与方程思想答案选择题：ADBBABCCCACCBD填空题：15、33,2；16、(1,)；17、①②；18、1lg5；19、2；20、0或121、(1)t≥2e；(2)m的取值范围是(e2＋2e＋1，＋∞)22．设每个小矩形长为x，宽为y，面积记为S，由题意知43200,xy223(2004)42004(25)2500Sxyxxxxx当2max25,2500()xSm时答：围成的矩形的最大面积是22500m23、解：令F(x)＝0，即log2(2x－1)－log2(2x＋1)－m＝0.m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log22x－12x＋1＝log2(1－22x＋1)．∵1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5.，25≤22x＋1≤23，13≤1－22x＋1≤35.∴log213≤log2(1－22x＋1)≤log235.即log213≤m≤log235.24、解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝35kx,再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝4035x.而建造费用为C1(x)＝6x.6最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×4035x＋6x＝80035x＋6x(0≤x≤10)．(2)()Fx＝6－22400(35)x.令()fx＝0，即22400(35)x＝6，解得x＝5，x＝253(舍去)．当0＜x＜5时，()fx＜0；当5＜x＜10时,()fx＞0.故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋800155＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．