高中数学必修5新教学案1.2应用举例(第3课时)

1必修51.2应用举例（学案）（第3课时）【知识要点】1．正弦定理、余弦定理；2．角度的测量．【学习要求】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关角度的测量问题．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第15页～第16页）１．了解方位角、方向角的意义．２．能根据题设条件或事物图画出平面图形．【基础练习】1．点Ｂ在点Ａ的北偏东50o方向上，则点A在点B的南偏方向上．２．3.5m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，求堤对地面的倾斜角．【典型例题】例1一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到0.01nmile）例2一架飞机以360km/h的速度，沿北偏东75的航向从城市A出发向城市B飞行，2min18后，飞机由于天气原因按指令改飞另一个城市C．如图，已知57ADkm，110CDkm，204BCkm，133,66DCBADC,问收到命令时，飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（角度精确到1，距离精确到1km）１．已知两灯塔Ａ和Ｂ与海洋观察站Ｃ的距离相等，灯塔Ａ在观察站Ｃ的北偏东40的方向上，灯塔Ｂ在观察站Ｃ的南偏东60的方向上，则灯塔Ａ在灯塔Ｂ的（）方向上．（Ａ）北偏东10（Ｂ）北偏西10（Ｃ）南偏东10（Ｄ）南偏西10２．甲船在Ａ处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向,两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应按的方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了海里．３．我艇在Ａ处发现一走私船在北偏东45方向且距离12海里的B处正以10海里／时的速度向南偏东75的方向逃窜，我艇立即以14海里／时的速度追击．求我艇航向及追上走私船所需要的时间．EDCBAＡＤＢＣ45Ｏ105O3如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待救援.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(角度精确到1)4必修51.2应用举例（教案）（第二课时）【教学目标】1.能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．2.过程与方法：测量角的问题多在行驶问题中出现，利用正弦、余弦定理求得最优解．【重点】综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题．【难点】掌握求解实际问题的一般步骤．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第15页～第16页）１．了解方位角、方向角的意义．２．能根据题设条件或事物图画出平面图形．【基础练习】１．点Ｂ在点Ａ的北偏东50o方向上，则点A在点B的南偏50西方向上．２．3.5m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，求堤对地面的倾斜角．（答案：约77.63）【典型例题】例1如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？（角度精确到1.0，距离精确到01.0nmile）【审题要津】要求航行方向及航行距离，只要在ABC中求出ACBAC以及即可．解：在ABC中，1373275180ABC，由余弦定理515.113137cos0.545.6720.545.67cos22222ABCBCABBCABAC又由正弦定理ABCACCABBCsinsin则3255.015.113137sin0.54sinsinACABCBCCAB0.19CAB0.5675CAB答：此船应该沿北偏东0.56的方向航行，需要航行n15.113mile．【方法总结】解决此类问题要找到一个关键的目标三角形，将已知条件及要求的量都转化到目标三角形中，找出等量关系，利用正、余弦定理列出方程求解.例2一架飞机以360km/h的速度，沿北偏东75的航向从城市A出发向城市B飞行，min18后，飞机由于天气原因按指令改飞另一个城市C．如图，已知57ADkm，110CDkm，204BCkm，133,66DCBADC,问收到命令时，飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（角度精确到1，距离精确到1km）【审题要津】设飞机在E处改变航向，要求改变航向后只需求出AEC，则航向为南偏西AEC75，这需在AEC中使用正弦定理或余弦定理求解，故需先求AC与CE的长．解：连结AC，在ADC中，由余弦定理可得：9566cos11057211057cos22222ADCCDADCDADAC8525.095110257951102cos222222ACCDADACCDACD32cosACD，10132133ACB在ABC中，由余弦定理可得241101cos20495220495cos22222ACBBCABBCACAB(km)9227.02412042952412042cos222222ABBCACABBCB23BEDCBA61086018360AE(km)133108241BE(km)在BCE中，由余弦定理可得9623cos1332042133204cos22222BBEBCBEBCCE(km)在ACE中，由余弦定理可知5754.096108295961082cos222222CEAEACCEAEAEC55AEC205575答：飞机应该按南偏西20方向飞行，此时离城市C的距离为96km．【方法总结】本题中三角形以及量都比较多,因此一定要先审清题目理清关系,找到关键的目标三角形．１．已知两灯塔Ａ和Ｂ与海洋观察站Ｃ的距离相等，灯塔Ａ在观察站Ｃ的北偏东40的方向上，灯塔Ｂ在观察站Ｃ的南偏东60的方向上，则灯塔Ａ在灯塔Ｂ的（Ｂ）方向上．（Ａ）北偏东10（Ｂ）北偏西10（Ｃ）南偏东10（Ｄ）南偏西10２．甲船在Ａ处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向,两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应按北偏东30的方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了a3海里．３．我艇在Ａ处发现一走私船在北偏东45方向且距离12海里的B处正以10海里／时的速度向南偏东75的方向逃窜，我艇立即以14海里／时的速度追击．求我艇航向及追上走私船所需要的时间．解：设经过ｔ小时追上走私船且相遇于Ｃ点．在ABC中，BC=10t,AC=14t．1207545CBDABDABC，由余弦定理ABCBCABBCABACcos2222ＡＤＢＣ45Ｏ105O7得120cos10122)10(12)14222ttt（,解得：432或t（舍去），2820ACBC，.在ABC中，由余弦定理1411281222028122cos222222ACABBCACABA，/1238A，所以，我艇应向北偏东/1283123845＝／的方向航行．答：我艇应向北偏东/1283的方向航行，经过２小时后即可追上走私船.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待救援.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(角度精确到1)解：如图，连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107．∵710120sin20sinACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°答:乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．【小结】对于与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形求出相关的角度．