高中数学探究函数图像交点个数问题论文

用心爱心专心1探究函数xya与logayx图象的交点个数问题函数xya与logayx(0,1)aa且互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值．在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．探究由logxayayx，得（1）当1a时①+②，得yxyaax.令(),0.xfxaxx则()()fyfx,即()()xfafx.∵1a,∴()fx为增函数,∴xax.两边取自然对数,得lnlnxax,即lnln0xax.令()lnln,0gxxaxx.求导,得1()lngxax．令()0gx,得1lnxa．当x变化时，(),()gxgx的变化情况如下表：x1(0,)lna1lna1(,)lna()gx—0+()gx↘极小值↗由上表可知,当1lnxa时,()=gx极小值11ln1lnlnlnaa．∵()gx只有一个极值,∴min()1lnlngxa.(ⅰ)当1lnln0a，即1eae时，方程()0gx无解，此时函数xya与logayx的图象没有交点；(ⅱ)当1lnln0a，即1eae时，方程()0gx有一解，此时函数xya与logayx的图象有一个交点；(ⅲ)当1lnln0a，即11eae时，由于()gx在0,内连续，且当0x时，()gx；当x时，()gx，∴方程()0gx有两解，此时函数xya与logayx的图象有两个交点．（2）当01a时由①、②，消去y，得xaax③由于0xa，且01a，故0xaa1,即01x．(0,0)xy其中①②xyyaax用心爱心专心2对③式两边取自然对数，得lnlnxaax，即lnlnxxaa．两边取自然对数，得lnlnlnlnxxaa．令ln()lnln,0,1lnxhxxaxa．求导，得1()lnlnhxaxx．由()0hx，得1lnlnxxa．令1()ln,(0,1)lnxxxxa．则()ln1xx．由()0x，得1xe．当1(0,)xe时，()0x；当1(,1)xe时，()0x．∴当1xe时，min111()()lnxeea．(ⅰ)当110lnea，即1eae时，()0x恒成立．∴1lnlnxxa，∵01a，01x，∴1ln0lnaxx，即()0hx，当且仅当1eae，且1xe时取“＝”号．∴()hx在(0,1)内是减函数．又∵当0x时，()hx；当1x时，()hx，且()hx在(0,1)内连续，∴方程()0hx恰有一解，此时函数xya与logayx的图象有一个交点．(ⅱ)当110lnea，即10eae时，∵011lim()lim()0lnxxxxa，且()x在(0,1)内连续，∴存在11(0,),(,1)mnee，使得()()0mn，∴()()0hmhn.当x变化时，(),()hxhx的变化情况如下表：(0,)m(,)mn(,1)n()hx－+－()hx↘↗↘由上表可知，()hx在(0,)m内是减函数，在(,)mn内是增函数，在(,1)n内是减函数.下面证明,1()0eha,1()0he.111ln()lnlnlneeeahaaaa11lneaa,10eae.令()Fa11lneaa,10eae.则当10eae时,()Fa11111lneeaaaea111(ln1)eaae1111(ln1)eeaee0.∴()Fa在1(0,)ee内是增函数,又∵()Fa在1(0,]ee上连续,∴当10eae时,x用心爱心专心31()()0eFaFe,即1()0eha.1ln11()lnlnlnehaeae1ln(ln)lnaae,10eae.令()Ga1ln(ln)lnaae,10eae.易证它为减函数,∴当10eae时,1()()0eGaGe,即1()0he.∵10eae,∴1101eae,又∵当0x时，()hx；当1x时，()hx，且()hx在(0,1)内连续，结合()hx的单调性,∴()hx在区间1(0,)ea,11(,)eae,1(,1)e内各有一个解.∴此时函数xya与logayx的图象有三个交点．综上所述,函数xya与logayx(0,1)aa且图象的交点有如下情况：当1eae时，没有交点；当1eae时，有一个交点；当11eae时，有两个交点；当11eae时,有一个交点；当10eae时，有三个交点．