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用心爱心专心1“直线与平面”错解点击在“直线与平面”内容中,为了研究直线与直线之间,直线与平面之间,平面与平面之间的各种关系,引进了一些基本概念和数学方法,例如“异面直线”,“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念,反证法、同一法等方法,对于这类特定的概念理解不准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易出错.下面通过几例,对产生错误的解法进行分析,研究纠正错误的方法,从中吸取有益的教训,以加深对知识的理解,提高解题能力.例1证明;斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上.错解如图,对于平面,直线AB是垂线,垂足B是点A的射影;直线AC是斜线,C是斜足,直线BC是斜线AC的射影.在AC上任取一点P,过P作PO⊥交BC于O,∴点P在平面上的射影在BC上.点击这样的证明似乎有点道理,事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上,但仔细分析,这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足,过点P作PO⊥交BC于O,恰恰是本题要证明的.是一种易犯的逻辑错误,许多同学在解题中往往错而不觉,对此应引起警觉.正解AC是平面的斜线,点C是斜足,AB⊥,点B是垂足.则BC是AC在平面上的射影.在AC上任取一点P,过点P作PO⊥,垂足为O.∴AB⊥,∴PO∥AB,∵点P在A、B、C三点确定的平面上,因此,PO平面ABC,∴O∈BC.例2已知、是两个不重合的平面,①若平面⊥平面,平面⊥平面,则平面∥平面;②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等,则平面∥平面;③a、b是平面内的两条直线,且a∥,b∥,则平面∥平面;以上正确命题的个数为().(A)O个(B)1个(C)2个(D)3个错解三个命题都正确,选(D).点击产生错误的原因是对问题不能全面的分析,缺乏把握空间元素位置关系的能力,不是用特殊代替一般,就是用一般统盖“特殊”.如判断①、②是真命题,只是考虑了图1与图2的情况,而忽略了图3与图4的情况.用心爱心专心2(1)(2)(3)(4)而判断③是真命题,则是对平面与平面平行的判定定理:“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行”没有真正理解,用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”.正解因为三个命题都不正确,所以选(A).例3如图E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点,求证:E1H1,与F1G2是异面直线.错证1(直接法)①连BD,由题设ABAE1=31,ADAH1=32,∴E1H1与BD不平行,设其交点为P,则P∈BD.∵CBCF1=CDCG2=32,则F1G2∥BD,∴PF1G2.②又E1P平面BCD,且E1∈E1P,∴E1平面BCD.故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线.错证2(反证法)设E1H1与F1G2不是异面直线,则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2.①设E1H1∩F1G2=P,∵E1H平面ABD,F1G平面CBD,则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上,则F1G2∩BD=P,这与F1G2∥BD(∵△CBD中,CBCF1=CDCG2=32)矛盾,∴E1H1与F1G2不相交.②设E1H1∥F1G2,∵F1G2∥BD,由公理4知E1H1∥BD,这与E1H1BD=P(∵在△ABD中,ABAE1=31,ADAH1=32,∴E1H1与BD不平行,必相交于一点P)矛盾,用心爱心专心3∴E1H1与F1G2不平行.综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线.点击采用证法1时,有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上,且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上,只证E1H1与F1G2无公共点的一面,而忽视它们不在同一平面上,便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论,这是对其判定定理的片面理解,因而是错误的.在采用证法2时,易犯的错误也是不全面,只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能.因此,一定要深刻理解异面直线的定义,克服证题中的片面性.例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角.错解连结A1C交BD1于E,则∠D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角.设正方体的边长为a.则A1E=D1E=23a.又A1D1=a,在△A1ED1中,由余弦定理得cos∠A1ED1=EDEADAEDEA1121121212=aaaaa23232)23()23(222=222342aa=31∴∠A1ED1=arccos31,即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos31.点击以上证法的错误在于,∠A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角,本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD,所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影.正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清,导致了以上错误,所以在解此类题时,一定要先找出斜足,再作出垂足,垂足与斜足连线才得射影.正解∵A1B1⊥平面A1ADD1,又A1B1平面A1B1CD∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD.连结AD1交A1D于O,则D1O⊥A1D,∴D1O⊥平面A1B1CD.连A1C交BD1于E,连OE,则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影,∴∠D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角.设正方体的边长为a,则D1O=22a,OE=21AB=21a,用心爱心专心4在RtD1OE中,tan∠D1EO=OEOD1=2,∴∠D1E0=aretan2,即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan2.例5已知,AB是半径为R的⊙O的直径,0C⊥AB,P、Q是圆上两点,且∠AOP=300,∠COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图),求P、Q两点间的距离.错解在平面AOC内,过点P作PD⊥OC于D,∵平面AOC⊥平面BOC,则PD⊥平面BOC,连结DQ,∴DQ平面BOC,∠PDQ是直二面角A—O—CB的平面角,∴∠PDQ=900.∵∠AOP=300,∴∠POD=600.在Rt△POD中,PD=Rsin600=23R,在Rt△DOQ中,DQ=Rsin450=22R,∴在Rt△PDQ中,PQ=22QDPD=224243RR=R25,即P、Q两点间的距离是R25.点击此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误.判定一个角是否是二面角的平面角,必须同时满足三个条件:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③这两条射线都必须垂直于棱.误解中忽视了条件③中的“都”字,事实上,DQ与OC不垂直,这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义,概念一定要清楚,解题过程中要严格按定义要求落实,不能随心所欲.正解同错解,得PD=23R.又0D=21R.在△0DQ中,由余弦定理得DQ2=0D2+0Q2一20D·OQcos450=2222)2(22RRRR=4225R2用心爱心专心5在Rt△PDQ中,由勾股定理,得PQ=22DQPD=22422543RR=R2228.故P、Q两点之间的距离为R2228.
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