高中数学教学论文例谈三角函数中的最值问题

用心爱心专心1例谈三角函数中的最值问题三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其类型与解法举例说明。1y=asinx+bcosx+c型例1已知函数f(x)=2asin2x-23asinx·cosx+a+b(a0)的定义域为[0，2]，值域为[-5，1]，求常数a、b的值。解：f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x)+2a+b=-a(cos2x+3sin2x)+2a+b=-2asin(2x+6)+2a+b.x[0,2],2x+6[6,67].-21sin(2x+6)1.因此，由f(x)的值域为[-5，1]可得.-5.=b+2a+12a-1=b+2a+)21(-2a-0,a,或.52)21(2,1212,0baabaaa.5,2ba或.1,2ba点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函数，再应用函数的有界性求解。用心爱心专心22.y=asinx2+bsinx+c型例3求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.(1)当a-1时，有ymax=g(1)=3-4a,ymin=g(-1)=3+4a.(2)当-1a1时,有ymin=g(a)=1-2a2,ymax为g(-1)和g(1)中的较大者,即ymax=3-4a(-1a0),(3)当a1时,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.本题可以化为以sinx为自变量的二次函数，定义域为[-1,1],利用二次函数在闭曲间上的最值求法。对于正弦函数、余弦函数的有界性，应引起充分的重视。3.y=asinx+b型例1．已知f(x)=sin(2x+3)-3sin2x+sinxcosx+23求f(x)的最小值及此时x的值。解：f(x)=sin(2x+3)-23(1-cos2x)+21sin2x+23=sin(2x+3)+21sin2x+23cos2x=sin(2x+3)+sin(2x+3)=2sin(2x+3).当x=k-125(kZ)时,f(x)的最小值-2.点评：化为一个角三角函数形式，再利用有界性求解。4．dxcbxaycossin（xR）型例4．求函数xxycos2sin2的最大值与最小值。方法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y,用心爱心专心3即sin(x-)=2122yy,故2122yy1解得374y374,ymax=374,ymin=374方法二：将函数问题可转化为求两点A(2,2)和B(cosx,sinx)间连线斜率的范围。而点（cosx,sinx）的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆。通过点(2,2)的直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2(1-k)=0.原点到此直线的距离应为1.故2122kk=1,即得k=374,ymax=374,ymin=374.点评：法一是利用三角函数的有界性；法二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；学习中应重视数形结合法处理最值的问题。5.综合型例5：当0x2时，函数f(x)=xxx2sinsin82cos12的最小值为（）A.2B.23C.4D.43解法一：f(x)=xxx2sinsin8cos222=xxxxsincossin4cos22=xxxxcossin4sincos4（“=”cosx=2sinxtanx=21）故选C解法二：f(x)=xxx2sin)2cos1(42cos1=xx2sin2cos35,f/(x)=xx2sin2cos1062=0对0x2成立，故cos2x=53，sin2x=54时,f(x)min=545335=4.故选C.点评：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求导方法求解。例6:若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a用心爱心专心4的值。解：xaxxxaxxxfsin2cos212cos2sincos4cos2)(2),sin(4412xa其中角满足211sina，21cosaa解之得，15a.点评：本题利用了三角函数公式恒等变形的技能和运算能力，达到了求三角函数最值的目的。在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦的有界性及函数的定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求导的方法来求解。