高中数学教学论文例谈化归转化思想的运用苏教版

1例谈转化与化归思想的应用在日常教学中，常遇到一些问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.比较常见的表现形式有：陌生与熟悉的转化，复杂与简单的转化、变量与常量的转化、数与形的转化、函数与方程的转化、空间与平面的转化、正与反的转化、抽象与具体的转化等等.下面就一些题目谈谈一些处理策略.1．陌生与熟悉的转化例1已知,,,321bcadbdacmdcdcmbabam求证：321321mmmmmm.解析：原条件可化为,1,11,11321abcdacbdmcdcdmababm令tan,tancdab则),4tan(),4tan(21mm)tan(1tantantantan13m)2tan(，因为)2()4()4(，所以)2(tan)4()4(tan即2tan()4()4(1)4()4tan(),整理得)4tan()2tan()4tan()4tan()4tan(),2tan(所以321321mmmmmm成立.点评将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.本题巧妙的将陌生的的分式经过整理变形，转化为熟悉的两角和差正切公式来解决.2．复杂与简单的转化例2已知函数xxy1112，求函数的定义域，并证明是单调递减函数.解析：由,01,012xx得11x，所以函数的定义域为1,1.设,0,cosx，)(x是单调递减函数.则cos1sin1y2cos)21(2sin，由于2cos)21(,2sin在,0均为单调函数，由复合函数的单调性知：函数xxy1112在1,1上是单调递减函数.点评：本题函数形式较复杂，直接化简较难，通过引入三角进行换元，将复杂函数转化为简单的函数形式.但在引入参数角时，还需跟上合适的范围以便求解.23．变量与常量的转化例3对于满足40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，试求x的取值范围．解析：习惯上把x当作自变量，记函数pxpxy3)4(2，于是问题转化为：当4,0p时，0y恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．设函数)34()1()(2xxpxpf，显然1x，则)(pf是p的一次函数，要使0)(pf恒成立，当且仅当0)0(f，且0)4(f时，解得x的取值范围是),3()1,(．点评本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.4．空间与平面的转化例4如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥ABCP.（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形APPP321，如图（b）所示.求证：侧棱ACPB；（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中2,PBACPA，求侧面PAC与底面ABC所成角；解析：（1）在平面图中BPAP21，CPBP22.故三棱锥中，PAPB，PCPB，且PPCPA∴PB平面PAC，∴ACPB.（2）由（1）在三棱锥中作ACPD于D，连结BD.ACPB,ACPD且PPDPBACBD，∴PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连3BP得ACBP3，作3CPAE于E，得421PPAE.设xACPA，则xAPACAP31，由32CPCP，3EPCE3x224x，∴3EP=2.故223CP,2432PP，由AECPDPAC33得383DP，又3BPD3)3,2(AP)3,2(C)1,6(BxyO623222PPBP，所以310BD.在PDB中，54cosPDB，∴侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为54arccos.点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算往往是转化为平面内的角来求解.5．数与形的转化例5求函数3712134)(22xxxxxf的最小值.解析：3712134)(22xxxxxf22)30()2(x22)10()6(x，设)0,(),1,6(,3,2xPBA，则上述问题转化为求PBPA的最小值，如图点A关于x轴的对称点为)3,2(C,因为BCPBPCPBPA24,所以)(xf的最小值为24.点评本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题.6．方程与函数的转化例6若关于x的方程02sin42cosaxax在区间,0上有两个不同的解，则实数a的取值范围是.解析：2sin4sin212sin42cos2axaxaxax1sin4sin22axax令xtsin，1,0t，则原题转化为方程01422aatt在1,0上有两个根.令142)(2aatttf，由二次函数图象可知：14400)1(0)0(0aff解得：5321a点评本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.7．正与反的转化4例7给定实数a，0a且1a，设函数11axxy（其中xR且ax1），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴．证明：设111,yxM、222,yxM是函数图象上任意两个不同的点，则21xx．假设直线21MM平行于x轴，则必有21yy，即11112211axxaxx，整理得2121xxxxa．由21xx，得1a，这与已知条件“1a”矛盾，因此假设不成立，即直线21MM不平行于x轴．点评该题正面求证很困难，但通过找出反面的矛盾，从而证明原命题的正确.本题中“不平行”的否定是“平行”，通过假设“直线平行”，然后得出矛盾，从而推翻假设．8．抽象与具体的转化例8设)(xf定于在实数集R上，当0x时，1)(xf，且对于任意实数yx,都有)()()(yfxfyxf，同时2)1(f，解不等式4)3(2xxf.解析：由)()()(yfxfyxf中取,0yx得2)0()0(ff，若0)0(f，则令0,0yx，则0)(xf与0x时，1)(xf矛盾.所以1)0(f.当0x时，01)(xf，当0x时，0x，01)(xf，而1)()(xfxf所以0)(1)(xfxf又因1)0(f，所以0)(,xfRx，设Rxx21,且21xx则1)(,01212xxfxx，)()(12xfxf)()(1121xfxxxf)()()(1121xfxxfxf01)()(121xxfxf所以)(xfy在R上为单调增函数.又因2)1(f，所以)2()11()1()1()3(2ffffxxf.由)(xf得单调性可得232xx，解得21x.点评由于指数函数有类似)()()(yfxfyxf的性质yxyxaaa，所以猜想模型函数为)1,0()(aaaxfx，由)11()2(ff4)1()1(ff，则将不等式化为)2()3(2fxxf，只需证明)(xf的单调性即可.数学中的转化比比皆是，但实质都是揭示内在联系，实现转化.除极简单的数学问题外，几乎每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程，但还应注意转化中的等价性，即转化前后必须是等价的、合理的.