高中数学教学论文引领,需要恰当的铺垫-有效推进“数形结合”思想方法教学的课例研究

1引领，需要恰当的铺垫-有效推进“数形结合”思想方法教学的课例研究在课堂教学中，教师是学生学习的引领者，但如何引领，才能最有效地凸现学习过程、揭示数学本质、激励创新思维、引发情感共鸣？这是摆在我们每个教师面前迫切需要解决的课题。在数学课堂教学中，教师的教怎么才能达到有效引领的目的？一次“数形结合”思想方法的教学研究给了我诸多的感受。疑惑——多余与重复这是一节旨在使学生形成数形结合思想的数学课，我首先给出了一个引例：例1：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？当大多数同学还在蹙眉深思、尝试探索时，一位同学已用“代数法”给出了答案，并自告奋勇把答案写在黑板上。生甲：设则，将代入得：经过简单交流后，这位同学的解法得到了大家的认同与赞许。老师给出这个引例的原意是：将与两点连线的斜率联系起来，将“求的最大值”转化为“求直线斜率的最大值”实现数形转化，再通过图像观察经过简单计算得到最大值。面对出现的新情况，我只能继续“引导”，于是就有了下面的对话：教师：这是一种代数解法，观察式子的特点，同学们还有没有其他解法？生甲：既然问题解决了，为什么还要考虑其它的解法，这不是浪费时间和精力吗？此时我从班上多数同学困惑的表情中“读出”了众人对上述观点和方法的认同。对此，我只好“强化引导”，边引导、边讲解、边把“标准答案”写在黑板上：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当直线与⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为，，所以，所以2==在讲解方法的同时，要求同学们认真学习，努力掌握这种把“数量关系”转化为“图形特征”的“以图论性”的新方法。为了巩固教学成果，按预先设计，特意安排了如下的跟进练习：跟进练习：点在方程所表示的曲线上，则的最大值是什么？大多数同学的解法为：设则将代入两边平方得面对这种难堪的“启而不发”的僵局，我随机应变地给出如下练习：点在方程所表示的曲线上，则的最大值是什么？学生继续练习，不少人露出疑惑的神态，这样的题目怎么一直要练？老师到底是什么意思？犹豫着报出他们的计算结果，结果仍旧没有改变。教师：这是同一个题目吗？它们有没有区别？区别在什么地方？生乙：不一样，的取值范围不同。教师：题目中范围的不同对最后的结果有没有影响呢？回顾自己的解题过程看看是否存在什么问题？最后正确的结果到底应该是什么？学生小心翼翼地开始议论，代数方法计算过程中范围的加强使部分学生从根的情况出发开始讨论，教师介绍的数形结合的方法也有学生进行尝试。由于学生先入为主的习惯思维作祟，对教师介绍的数形结合方法没有深刻领会，因而对跟进练习中如何运用数形结合的方法解决问题感觉到茫然、毫无头绪。本片断中，对引例1，在代数解后要求其他解法，不少学生先有多余(多此一举)的感觉，导致对教师从“形”的角度示范意义的不理解；在跟进练习中，学生又有两题重复的感觉，同时因为缺乏对“形”的意义理解，仍然不能体会数形结合的意义。为什么学生对引例和跟进练习有“多余”和“重复”的感觉呢?重新审视引例，发现这里以“形”论“数”的结构特征不够明显，学生可以用简单的代数方式很快解决。这样就大大削弱了学生对“图形”方法解决问题的需求愿望，即引例没能有效激发学生对“数形结合”方法的需求。显然，在缺少学生需要的情形下的教师示范，是一种低效的示范。在示范无效的情况下，当学生完成跟进练习时，仍然使用代数方法解决类似问题时，感觉到“重复”也就在情理之中了。看来，引导需要激发学生的需求，而引例要为学生产生学习需求做好恰当的铺垫。引例，要激发学生的认知需求基于以上认识，我在平行班讲授该内容时，对引例作了一定的修改。3例1：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？修改后的引例使代数式的结构特征更明显，也不容易用简单的代数法求解，故能引发学生用“数形结合”的解题方法的需求。经过启发和引导，实现了预设目标，多数学生给出了如下解答：可看作动点与连线的斜率y，点在圆上，圆心为,半径等于。如图，观察图形易知当与⊙相切时，有最值，即有最大值。学生在上述过程中，由图形的直观、计算地简单初步感受到“数形结合”的奇妙作用，在此基础上教师不失时机的归纳、总结与引领指导：有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解。如：求形如的最值问题可考虑两点的斜率（）。例2：求函数的值域。4生丙：看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得：最值在定点与圆上点的连线所在的直线和圆相切时取得,从而解得：例3、求函数的值域。学生：与斜率联系起来。教师：怎么联系？……学生的思维在这里触礁，解题遇到了困难。反思：学生记住了求形如最值的方法——与直线斜率相联系。但这种联系只停留在表面形式，并不理解这种解法的本质内涵。所以有些问题只知道可以与直线斜率联系求解，但又不知道如何建立联系。许多事实告诉我们：在学习数学的过程中，学生都以自己的经验为背景来建构对知识的理解，没有经过反思所获得的知识是肤浅的，只有不断地反思，才能使自己建构的知识接近数学知识的本质，最终达到真正理解数学知识。由此看来，引导中的铺垫，需要以学生的经验为支点。引例，要为学生的思维提供支点扫除学生应用数形结合解决圆锥曲线最值问题中的障碍，需要选用结构特征明显的引例，在此基础上，以学生的经验为支点，设计通过一些学生的自主活动，让学生经历完整知识形成和应用的全过程，自我揭示数形结合在最值问题应用中的本质内涵。基于以上的认识，对修改后的例1教学，在引导学生给出正确的解答后，围绕解法的关键点——把看成圆上动点与定点B（1，2）的斜率。教师设计5一系列问题引发学生的深层次思考：这种解法是如何想到的？解题过程中发生过什么障碍？障碍又是如何如何排除的？重新审视或变更条件能引发什么新的思考？能否从这一特殊问题的解决，抽象、概括出解一类问题的一般方法？对“例2：求函数的值域”解题后的省思，则着重引导学生讨论例1与例2的共同点和不同点：动点从到发生了怎样的变化？对以“形”定“数”的本质，有些什么样新的体验？从而引导学生从思想方法的层面对解题过程进行反思，对解题方法进行总结。有了上述铺垫，例3就不再是难以逾越的障碍。例3、求函数的值域。生丁：看成是一个动点和一个定点的斜率。教师：那个动点？那个定点？生丁：动点，定点教师：动点所在曲线是什么？学生丁：设，则动点所在曲线为即以为圆心，半径为1的上半圆。问题转化为半圆上的动点与定点连线斜率的范围。例4：已知，求的最小值生戊：把看作点与的距离，而动点在直线上变化。即求直线上的动点与定点之间距离的最小值。最小值为到直线的距离。，所以的最小值为。在第三次的改进中学生不仅对具有典型特征的形如的最值——与直线斜率相联系运用数形结合的方法进行自主探究，而且能将形如例4的最值问题自发地运用数形结合的思6想与斜率、距离、面积等进行联系和转化，用“形”与“数”的完美结合将问题轻松解决。引例，要揭示数学知识的本质内涵问题到了这里似乎已圆满解决——教学达到了目的，设计意图得到了实现。然而一个更深层的问题却时时萦绕我的心间。最初的例1，固然有教学设计上的缺陷，但是面对学生的代数解法强行“板头”，是否可取？对于学生所采用的这种间接求最值的方法应如何给出科学的解释和恰当的评价？这一特殊的代数解法与本节课的教学主旨——“数形结合”有无内在的联系？如何联系？更进一步地如何准确、科学地理解“数形结合”？带着这些问题，我进行了深入的思考和探索。我发现对原例1的处理若采用下述方法，完全可作为实现“数”与“形”相互转化和紧密结合的典型范例。原例1：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？解：注意可看作圆C：上动点与原点连线的斜率，即。结合图形可以看出当直线与圆C相切时取最值。而为何值时，直线与圆C相切？这是解析几何中的一个基本问题。由令，则有原来学生的解法本质上是在用代数法求切线斜率。这里把代数问题“求的条件最值”转化为几何问题“求切线的斜率”，再用代数方法最后解决问题。只不过，对于这一特定问题——“过圆外一点求圆的切线的斜率”用几何法求斜率更简单罢了。仔细推敲这一解题过程，我们不难发现：“为解决代数问题，由几何直观得到启示，最后用代数方法解决问题”，这恰恰就是“数形结合”思想方法的本质所在，于是针对这一特定的课堂“生成性”资源（这里指：学生的特殊解法）一节全新的教学设计应运而生：例1：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？生甲：设则，将代入得：在这种解法得到大家的认可和肯定时，教师不失时机地提问。师：你是如何想到这种方法的？为什么可以这样求解？理论依据是什么？面对这一理性色彩很强的质疑，多数同学疑窦顿生，产生了强烈地破解疑惑的欲望，这时教师着手主动引导。师：这是一个很有意义的问题，但是解决这样的问题暂时有一定的困难，我们不妨先将它搁7置起来，思考一下，看看有没有其它解法可更简约地解决这个问题？（这样，既不强行“板头”，又能激发学生内在需求）接着讲练结合处理例2：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？例3：求函数的值域。例4：求函数的值域。在上述三个例题的处理过程中遵循从“激发学生的认知需求”、“为学生的思维提供支点”两方面处理问题，使学生加深对“数形结合”思想的本质理解和应用。在此基础上，回到例1解难释疑，从理论和实践两个层面对学生甲的“特殊”解法给出科学的解释。进而概括和提炼出：“代数问题——几何直观——代数处理”这一“以图论性”、“以数定型”的“数形结合”的方法主线，使学生得到思想方法层面的熏陶、感悟和体会。跟进练习例5：若满足，求的最值。分析例5，由“”的代数形式考虑将“的最值”转化为“椭圆上动点与定点连线的斜率问题”实现“以形助数”的要求。令，结合图象得到直线与椭圆相切时斜率取最值，由“数”定“形”联立代数方程组得，由得，所以的最大值为，最小值为，实现或“以数解形”的目标。学生通过老师的引导、自己的思考和与同伴的交流，找到了问题所在并在老师的指导帮助下解决了问题，尝到了成功的喜悦。为巩固成果我因势利导：“现在我想请同学们来当老师，把条件适当改动一下，使得题目有意义并能够求解。请同学们在课后自己改编题目，小组间进行交流和尝试。”对于这一富有挑战性的问题，学生感到新鲜，不少人跃跃欲试，产生良好的教学效果。本课例在几次的尝试和改进中，尽量展示数学问题思维的全过程，倡导主动学习，鼓励学生具有质疑精神，有自己的思考和创新。教学中注重挖掘他们的潜能，引导他们善于用批判的8眼光看待事物，能够透过现象看本质。自觉地把数形结合等思想运用到解题中。在课例1中，只有典型例题的选取，忽略了应用结构的特征，使学生数形结合的应用并不顺畅；改进2中引例的选取注重了应用形式的典型特征，但没有本质内涵的挖掘；改进3中引例的选取将学生的主观能动性进行充分的挖掘，教师的引导和归纳更注重学生对数形结合思想本质的研究。而在进行深入思考和探索的情况下，应运而生的新的教学设计对原例1中学生在课堂上产生的“生成性”资源进行科学解释和恰当评价，概括和提炼出：“代数问题——几何直观——代数处理”这一“以图论性”、“以数定型”的“数形结合”的方法主线，使学生在自主学习的过程中体验知识的形成过程，把握数形结合思想的本质内涵，并灵活应用数形结合解决圆锥曲线最值问题。本节课教师引领作用并不改变，但教学效果的改进依赖于教学过程中“恰当铺垫”，数形结合思想在教师的恰当引领下使学生拾级而上，以“结构特征显著的引例”引发学生的学习需求，以“学生经验为基础的引例”提供学生思维的支点，使学生经历完整的知识形成和应用的全过程，体验数形结合思想的本质。教学研究，只要教师用心、用功、用情，终将会引领学生自由遨游在浩瀚的数学海洋中！参考文献：1、章建跃解析几何的思想、内容和意义——“中学数学中的解析几何”之二中学数学教学参考2007.72、章建跃我国中学数学解析几何教材的沿革——“中学数学中的解析几何”之二中学数学教学参考2007.83、张奠宙，宋乃庆数学教育概论北京：