高中数学教学论文过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质

用心爱心专心1过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。我们先来研究抛物线的性质．性质一：过抛物线焦点F的弦AB两端点的切线12,ll的交点P的轨迹是相应的准线,且APB是定值2．证明：设抛物线的方程为22ypx（0p），过焦点(,0)2pF的焦点弦为AB，设1122(,),(,)AxyBxy，则过,AB两点的切线12,ll的方程分别为11()yypxx①22()yypxx②由①2y－②1y得211221()()xyypyxyx.因为22212121212,,,22yyxxyypyypp.所以2px.又因为2121212,,ppkkyypyy.所以121kk，即2APB.当然证明2APB，也可以用抛物线的光学性质来证显得更为简洁.过A作AM∥x轴，过B作BN∥X轴．由抛物线的光学性质知：,CAMPABDBNPBA．0180MABNBA．00018021802180PABPBA．即090PABPBA．即2APB．利用平几知识及抛物线定义容易得到PFAB.（证明略）抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质．性质二：过椭圆焦点F的弦AB（不与长轴重合）两端点,AB的切线12,ll的交点P的轨迹是焦点F相应的准线，且APB的取值范围为22(0,arctan]1ee．(e为椭圆的离心率)性质三：若过双曲线焦点F的直线与双曲线交于,AB两点,过,AB两点的双曲线的切线12,ll的交点P的轨迹是焦点F相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,且当,ABABPFNCDM用心爱心专心2在同一支上时APB的取值范围为222[arctan,arctan)1eaeb；当,AB在两支上时APB的范围是2(0,arctan)ab.(e为双曲线的离心率)先证明性质二：设椭圆22221(0)xyabab的右焦点为(,0)Fc，焦点弦AB（不与长轴重合）两端点的坐标为1122(,),(,)AxyBxy，则过,AB两点的切线12,ll的方程分别为：222211bxxayyab①222222bxxayyab②由①②得222211221()()bxyxyxabyy（*）由11(,)FAxcy，22(,)BFcxy．∵,,AFB三点共线．所以211221()yxyxcyy代入（*）得2axc，即P点的轨迹是焦点F相应的准线．下面证明APB的取值范围为22(0,arctan]1ee：不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方,即12yy．则APB即为12ll到的角.∵12121lxbkay，22222lxbkay．12ll到的角APB的正切值为211222212221412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx．设AB所在直线为xmyc代入椭圆方程即得222222()bmycayab化简整理得222224()20ybmabcmyb．2122222bcmyybma，412222byybma．444412121212()()ayybxxayybmycmyc＝4424421212()()abmyybmcyybc444242422222221[()(2)()]babmbcmbcmbcabmabm44826222426222221[2]abbmbcmabcbcmabmyxFBAPO用心爱心专心3262262622222221(1)[]abmababmabmabm．又21121212()()4yyyyyyyy422442262242222222222441444()bcmbbcmbmabbmabmabma242224222222212441abbamabmbmabma．2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm．21011m∴222212tan(0,]1acacAPBbbm．因为tany在(0,)2是增函数．故APB的取值范围是22(0,arctan]acb即22(0,arctan]1ee．下面证明性质三：设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为(,0)Fc，过焦点(,0)Fc的直线与双曲线交于两点的坐标为1122(,),(,)AxyBxy，过,AB两点的切线分别为12,ll，其方程分别为：222211bxxayyab①222222bxxayyab②由①②得222211221()()bxyxyxabyy（*）由11(,)FAxcy，22(,)BFcxy．∵,,AFB三点共线，所以211221()yxyxcyy代入（*）得2axc（abyc）．即P点的轨迹是焦点F相应的准线（除去准线与渐近线的交点）．下面证明APB的取值范围：(1)当1122(,),(,)AxyBxy在同一支上时，不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方，即12yy,则APB即为2l到1l的角.如图所示．∵12121lxbkay，22222lxbkay．2l到1l的角APB的正切值为121222122212412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx．APBF用心爱心专心4设AB所在直线为xmyc,因为1122(,),(,)AxyBxy在同一支上,所以0amb，将xmyc代入双曲线方程化简整理得222224()20ybmabcmyb．2122222bcmyybma，412222byybma．444412121212()()ayybxxayybmycmyc＝4424421212()()abmyybmcyybc444242422222221[()2()]babmbcmbcmbcbmabma44826226222422221[2]abbmbcmbcmabcbma262262262622222222221(1)(1)[]abmabmababmbmabmaabm．又21121212()()4yyyyyyyy422442262242222222222441444()bcmbbcmbmababmabmabm242224222222212441abbamabmabmabm．2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm．0amb，∴2222122tan[,)1acacaAPBbbbm．因为tany在(,)2是增函数，故APB的取值范围是222[arctan,arctan)acabb即222[arctan,arctan)1eaeb．(2)当1122(,),(,)AxyBxy不在在同一支上时，不失一般性设点A在右支、点B在左支，根据对称性先考虑0ABk的情况，则APB即为2l到1l的角，如图所示：∵12121lxbkay，22222lxbkay．2l到1l的角APB的正切值为121222122212412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx.APBF用心爱心专心5设AB所在直线为xmyc,因为1122(,),(,)AxyBxy在两支上且0ABk，所以amb.将xmyc代入双曲线方程化简整理得222224()20ybmabcmyb2122222bcmyybma,412222byybma.444412121212()()ayybxxayybmycmyc＝4424421212()()abmyybmcyybc262222(1)abmabm又21121212()()4yyyyyyyy422442262242222222222441444()bcmbbcmbmababmabmbma242224222222212441abbamabmbmabma.2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm.amb,∴22212tan(0,)1acaAPBbbm.因为tany在(0,)2是增函数，故APB的取值范围是2(0,arctan)ab．根据对称性知当amb时上述结论也成立．所以当1122(,),(,)AxyBxy在两支上时APB的取值范围是2(0,arctan)ab．通过上述证明我们还可以得到下面一个推论：过圆锥曲线C的准线l上一点作C的两条切线,则两切点与准线l相应焦点共线．证明略．