高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题数列数列1.数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。例1.已知数列na的前n项和为nnSn22,求数列na的通项公式.例2.已知nnnSaa2311且，求na及nS．例3.已知11a，nnanS2(1)n≥求na及nS．例4.求和n321132112111.例5.数列121,341,581,7161,…,(2n－1)+n21的前n项之和为Sn，则Sn等于()(A)n2+1－n21(B)2n2－n+1－n21(C)n2+1－121n(D)n2－n+1－n21例6.求和:2311234nSxxxnx.等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1nnaad(d为常数,2n≥)1(0,2)nnaqqna且为常数,≥递推公式1nnaad(()nmaanmd)1nnaaq(nmnmaaq)通项公式1(1)naand11nnaaq（1,0aq）中项2nknkaaA（*,,0nkNnk）(0)nknknknkGaaaa（*,,0nkNnk≥≥）前n项和1121()2(1)222nnnSaannnadddnan111(1)1(1)11nnnnaqSaqaaqqqq重要性质*(,,,,)mnpqaaaamnpqNmnpq①等和性:②()nmaanmd③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）*:(,,,,)mnpqaaaamnpqNmnpq①等积性②nmnmaaq③从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法1()nnaad常数2.中项法112(2)nnnaaan证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法1()nnaqa常数2.中项法11(2)nnnaaan2（）设元技巧三数等差：,,adaad四数等差：3,,,3adadadad三数等比：2,,,,aaaqaaqaqq或四数等比：23,,,aaqaqaq联系真数等比，对数等差;指数等差，幂值等比。重点把握通项公式和前n项和公式,对于性质主要是理解．．(也就是说自己能推导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧.等差数列与等比数列注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.⑶解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为)1(1)1(1qqqaSnn及)1(1qnaSn；已知nS求na时，也要进行分类；③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.⑷在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.等差数列与等比数列例7.等差数列{an}中，已知113a，6113a，an=33，则n为（）(A)48(B)49(C)50(D)51例8.在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a例9.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D例10.在等比数列na中，22a，545a，求8a，例11.在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D例12.已知等差数列na满足1231010aaaa,则有()1101()0Aaa2100()0Baa399()0Caa51()51Da例13.已知数列na的前n项和nnSn232，求证:数列na成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。等差数列与等比数列例14.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.例15.在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a.例16.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{nSn}的前n项和，求Tn.例17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.例18.在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.例19.设{an}是等差数列，1()2nanb，已知b1+b2+b3=821，b1b2b3=81，求等差数列的通项an.例20.已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是()(A)4或5(B)5或6(C)6或7(D)8或9数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案例1.当1n时，111Sa,当2n≥时，34)1()1(2222nnnnnan,经检验1n时11a也适合34nan,∴34nan()nN例2.解：∵1nnnSSa,∴nnnSS221,∴12211nnnnSS设nnnSb2则nb是公差为1的等差数列,∴11nbbn又∵2322111aSb,∴212nSnn,∴12)12(nnnS,∴当2n≥时212)32(nnnnnSSa∴22)32(3nnna(1)(2)nn≥,12)12(nnnS例3解：1221)1(nnnnnananSSa从而有111nnanna∵11a,∴312a,31423a,3142534a,314253645a,∴)1(234)1()1(123)2)(1(nnnnnnnan,∴122nnanSnn.例4.解：)111(2)1(23211nnnnnan∴12)111(2)111()3121()211(2nnnnnSn例5.A例6.解:1324321nnnxxxxS①nnnnxxnxxxxS132132②①②nnnnxxxxSx1211，当1x时,xnxxnxnxnxxnxxxSxnnnnnnnn1111111111∴21111xnxxnSnnn;当1x时，214321nnnSn例7.C例8.192例9.C例10.解：145825454255358aaaqaa另解：∵5a是2a与8a的等比中项，∴25482a∴14588a例11.D例12.C例13.解：12311Sa,当2n≥时,56)]1(2)1(3[23221nnnnnSSannn,1n时亦满足∴56nan,∴首项11a且)(6]5)1(6[561常数nnaann∴na成等差数列且公差为6、首项11a、通项公式为56nan例14.解一：设首项为1a，公差为d则1732225662256)(63542111212111daddada5d解二：2732354奇偶偶奇SSSS162192奇偶SS由dSS6奇偶5d例15.解：∵109181aaaa，∴205100110918aaaa例16.解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设{an}首项为a1，公差为d，则7115176772151415752SadSad∴121ad∴(1)22nnnS∴152222nSnnn此式为n的一次函数∴{nSn}为等差数列∴21944nTnn法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn∴27215777151575SABSAB解之得：1252AB∴21522nSnn，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例17.解：设原来三个数为2,,aqaqa则必有)32(22aqaaq①,)32()4(22aqaaq②由①：aaq24代入②得：2a或95a从而5q或13∴原来三个数为2,10,50或9338,926,92例18.70例19.解题思路分析：∵{an}为等差数列∴{bn}为等比数列∴b1b3=b22,∴b23=81,∴b2=21,∴131217814bbbb,∴13218bb或12182bb∴13212()24nnnb或1251428nnnb∵1()2nanb,∴12lognnab,∴an=2n-3或an=-2n+5例20.2392nn