高中数学数列的综合应用

数列的综合应用(推荐时间：80分钟)1．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，∴an＝1＋(n－1)(a－1)．又∵b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－56.∵a0，∴a＝2.∴an＝n.(2)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a0)，∴an＝an－1，∴bn＝anan＋1＝a2n－1.∵bn＋1bn＝a2，∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝aa2n－1a2－1＝a2n＋1－aa2－1.综上，Sn＝na＝1，a2n＋1－aa2－1a≠1.2．在等比数列{an}中，a10，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Snk对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．解(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16.又a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.(2)∵bn＝log42n＋1＝n＋12，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝nn＋34.∵1Sn＝4nn＋3＝431n－1n＋3，∴1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝4311－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝431＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3229，∴正整数k的最小值为3.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.解(1)由题知，当n＝k∈N*时，Sn＝－12n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故k2＝16(k∈N*)，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)．又a1＝S1＝72，所以an＝92－n.(2)设bn＝9－2an2n＝n2n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.4．(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.解(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9man92m，则9m＋89n92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.5．已知等差数列{an}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有TnSm＋λ恒成立，求实数λ的最小值．解(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，又a1＝4，所以公差d＝－1，所以an＝5－n，从而Sn＝n9－n2.(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列的公比为q，则q＝b2b1＝12，所以Tn＝41－12n1－12＝81－12n.因为f(n)＝12n是关于自然数n的减函数，所以{Tn}是递增数列，得4≤Tn8.又Sm＝m9－m2＝－12m－922＋818，当m＝4或m＝5时，Sm取得最大值，即(Sm)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有TnSm＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解(1)由题知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时an＝16×54n－7，∴an＝2n＋2，n≤7，16×54n－7，n≥8.(2)设Sn为数列{an}的前n项和，当1≤n≤7时，Sn＝4n＋nn－12×2＝n2＋3n，当n≥8时，由S7＝70，则Sn＝70＋16×54×1－54n－71－54＝80×54n－7－10，∴该生产线前n年的每年平均维护费用为Snn＝n＋3，1≤n≤7，80×54n－7－10n，n≥8.当1≤n≤7时，Snn为递增数列，当n≥8时，因为Sn＋1n＋1－Snn＝80×54n－6－10n＋1－80×54n－7－10n＝80×54n－7·n4－1＋10nn＋10，∴Sn＋1n＋1Snn.∴Snn也为递增数列．又∵S77＝1012，S88＝80×54－108＝11.2512，S99＝80×542－109≈12.7812，则第9年年初需更新生产线．