高中数学热点难点突破-不拉分系列之(四)图解函数的零点问题

函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围．解决这些问题主要用数形结合法．1．函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f(x)＝0根的个数，可转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数(如例2(1))．2．利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象．[典例1]如图所示为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象，则x21＋x22的值是()A.23B.43C.83D.169[解析]由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(－1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.由f(0)＝0，得d＝0，故函数解析式可化为f(x)＝x3＋bx2＋cx＝x(x2＋bx＋c)，显然－1,2为方程x2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得－1＋2＝－b，－1×2＝c，解得b＝－1，c＝－2.故f(x)＝x3－x2－2x.由图象可知，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，又f′(x)＝3x2－2x－2，故x1，x2为f′(x)＝0，即3x2－2x－2＝0的两根，故x1＋x2＝23，x1·x2＝－23.故x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝232－2×－23＝169.[答案]D[题后悟道]确定零点与三次函数的各个系数之间的关系还可以根据零点写出函数解析式f(x)＝a(x－α)(x－β)·(x－γ)，然后依据代数恒等式成立的条件——对应系数相等，找出彼此之间的关系．本题所求的问题类似于一元二次方程根与系数关系中的相关问题，要注意式子的灵活变形．类似的变形有(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2等．3．零点取值范围的确定函数零点的取值范围，即为方程f(x)＝0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理(如本节例1)．4．由零点个数确定参数的取值范围根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围，主要利用数形结合的方法，根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式，通过解不等式求解其取值范围．[典例2]已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为()A．(－24,8)B．(－24,1]C．[1,8]D．[1,8)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x∈[－2，－1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故m8，m≥1，即m∈[1,8)．[答案]D[题后悟道]解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式．注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响．如该题中f(－2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上的零点个数，若m＝8或－24m1，则该方程有2个根；若m＝－24，则该方程有1个根；当m8或m－24时，则该方程没有实根．总之，解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想，利用导数研究函数的有关性质，主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值，然后画出函数图象，结合函数图象的特征判断、求解．