高中数学教学论文复数问题的处理策略苏教版选修1-2

用心爱心专心1复数问题的处理策略数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题．下面举例来谈谈复数问题的处理策略．一、数形结合例1、若121zz且221zz，求21zz．分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是12zz和21zz是以1OZ和2OZ为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．解：如图1所示，由121zz，221zz知四边形为正方形．故另一条对角线长221zz．点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用．例2、若复数53iz，求2z的最大值和最小值．分析：利用复数的几何意义求最值．解：如图2，满足53iz的复数z所对应的点是以3,0C为圆心，5为半径的圆．2z表示复数z所对应的点Z和点0,2A的距离，由题设z所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆的直径被A点所分成的两部分．∴13300222AC，∴1352,1352minmaxzz．点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力．二、待定系数法yxOZ1Z1+Z2Z2yxOABC图1图2用心爱心专心2例3、已知,xy为共轭复数，且2()346xyxyii，求,xy.分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.解：设(xabia、)bR，则yabi，代入原式，得222(2)3()46aabii，根据复数相等得22244,3()6,aab解得1,1;ab或1,1;ab或1,1;ab或1,1;ab所求复数为1,1;xiyi或1,1;xiyi或1,1;xiyi或1,1.xiyi点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.例4、已知|2|2z，且4zRz，求z.解：设(zabia、)bR，则|(2)|2abi.①依题意，得22222244()44()()()()abiababiabiabiabiababab.4zRz,224(1)0bab.②由①、②，得220,(2)2;bab或22224,(2)2.abab解得0,0ab（舍）；4,0;ab或1,3;ab或1,3.ab1234,13,13zzizi.三、取模法例5、已知||2zzi，求||z.解：由题设知2||zzi,两边同时取模，得2||(2||)1zz,平方，得22||44||||1zzz.||||zz,4||5z,5||4z,5||4z.点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处用心爱心专心3理要简捷得多.例6、已知z、为复数，(13)iz为纯虚数，2zi，且||52，求.分析：设(zabia、)bR，利用复数为纯虚数的充要条件求得z，再代入求.解法1：设(zabia、)bR，则(13)3(3)izababi.由题意，得30ab.||522zi,22||510zab.将3ab代入，解得15a,5b.故15(7)2iii.解法2：由题意，设(13),0izkik，且kR，则(2)(13)kiii.||52,50k.故(7)i.四、方程思想例7、在复数范围内解方程23||()2izzzii（i为虚数单位）.解：原方程化简为2||()1zzzii.设(zxyix、)yR，代入上述方程得2221xyxii,221,21.xyx解得1,23.2xy原方程的解是1322zi.点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.例8、已知2{(3)(1),8}Mabi，集合2{3,(1)(2)}Niabi同时满足MNMØ，MN，求整数,ab.解：依题意得：2(3)(1)3abii，①用心爱心专心4或28(1)(2)abi，②由①得，3,2ab，经检验，3,2ab不合题意，舍去.3,2ab.由②得，3,2ab，又3,2ab.3,2ab.综合①、②得3,2ab或3,2ab..点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练.五、转化思想例9、当实数m为何值时，226(56)3mmzmmim.（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数z对应的点在复平面的第二象限内.分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.解：（1）若z为实数，则2560,30,mmm得2m.（2）若z为虚数，则2560mm，且30m，得2m，且3m且mR.（3）若z为纯虚数，则2260,3560mmmmm得3m.（4）若复数z对应的点在第二象限，则2260,3560mmmmm3,23,3,2.mmmm或或3,23mm或.点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解.例10、计算：（1）3(22)(45)(54)(1)iiii；（2）8313()22ii.用心爱心专心5分析：（1）将45i化为(54)ii，使分子、分母可以约分，简化了运算.（2）找到括号内两个复数之间的内在联系：313()22iii是简化运算的关键.解：（1）原式=3422222(1)(54)22(1)22[(1)]2(2)42(54)(1)(1)(1)2iiiiiiiiiiiiii；（2）设132i，则31，32ii.原式=888()(1)ii=6242(2)16i=21316()88322ii.点拨：（1）复数abi与bai及bai有如下关系：bai=()()abii，bai=()abii本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的.（2）分子分母同乘以1i，使分母实数化，也是常用的化简技巧.六、分类讨论例11、已知286zi，求310016zzz.分析：如果由题设求86i的平方根z，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么.解：原式=42222216100(8)164(6)164200200200||zzzizzzzzzzzz，22|||||86|10zzi，又由2286[(3)]zii，得(3)zi，3zi或3zi当3zi时，原式=200(3)602010ii.当3zi时，原式==200(3)602010ii.综上，原式=6020i或6020i.点拨：（1）求一个数的平方根有两个基本方法：①设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；②配方，如上例中的解法.（2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.用心爱心专心6例12、已知复数z满足|4||4|zzi且141zzRz，求z的值.分析：确定一个复数需且仅需两个实数a、b，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求出a、b确定z.判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用zRzz，可使运算简化.解：设(zxyix、yR），141zzRz，141411zzzzzz，即13()[1]0(1)(1)zzzz，解得zz或2|1|13z将zxyi代入|4||4|zzi，可得xy，zxxi当zz时，即zR，则有0x；当2|1|13z时，即有260xx，则有3x或2x.综上所述，0z或33zi或22zi.点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，其性质有：||||zz，2zza，2zzbi，22||||zzzz，12zz12zz，12zz12zz，11222(0)zzzzz.