高中数学知识点易错点梳理函函数1函数图像及其变换

1高中数学知识点易错点梳理函数1函数图像的对称性C3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数()yfx，若存在常数,,ab使得函数定义域内的任意x，都有()()faxfbx，则函数()yfx的图像关于直线2abx对称.【特例】，当ab时，()()()faxfaxfx的图像关于直线xa对称.性质2：对于函数()yfx，若存在常数,,ab使得函数定义域内的任意x，都有()()faxfbx()fx的图像关于点(,0)2ab对称.【特例】：当ab时，()()()faxfaxfx的图像关于点(,0)a对称.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3：设函数()yfx，如果对于定义域内任意的x，都有()()famxfbmx(,,,0)abmRm且，则()yfx的图像关于直线2abx对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数()yfx，如果对于定义域内任意的x，都有()()famxfbmx(,,,0)abmRm且，则()yfx的图像关于点(2ab,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件函数关系式(xR)对称性()()ffxx函数()fx图像是奇函数()()ffxx函数()fx图像是偶函数()(2)fxfax或()()faxfax函数()fx图像关于直线xa对称()2(2)fxbfax或()2()faxbfax函数()fx图像关于点(,)Pab对称(2)两个函数图像之间的对称性1.函数()yfx与()yfx的图像关于直线0y对称.2.函数()yfx与()yfx的图像关于直线0x对称.3.函数()yfx与()yfx的图像关于原点(0,0)对称.4.函数()yfamx与()yfbmx的图像,,,0abmRm()关于直线2baxm对称.特别地，函数()yfax与()yfbx的图像关于直线2bax对称.（2010江苏卷5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_________a=1C4.几个函数方程的周期(约定0a)2(1)若()()fxfxa，或()()22afxfxa，则()fx的周期Ta；(2)若()()0fxfxa，或1()()1()fxfxafx，或()()22ffaaxx，或fxafxa，或1fxafx(()0)fx，则()fx的周期2Ta；【说明】函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系（可与三角函数类比）定理1：若定义在R上的函数()fx的图像关于直线xa和xb()ab对称，则()fx是周期函数，且2ab是它的一个周期.推论1：若函数()fx满足()()faxfax及()()fbxfbx()ab，则()fx是以2ab为周期的周期函数.定理2：若定义在R上的函数()fx的图像关于点(,0)a和直线xb()ab对称，则()fx是周期函数，且4ab是它的一个周期.推论2：若函数()fx满足()()faxfax及()()fbxfbx()ab，则()fx是以4ab为周期的周期函数.定理3：若定义在R上的函数()fx的图像关于点0(,)ay和0(,)by()ab对称，则()fx是周期函数，且2ab是它的一个周期.推论3：若函数()fx满足0()()2faxfaxy及0()()2fbxfbxy()ab，则()fx是以2ab为周期的周期函数.C6.1、若函数()yfxa为偶函数，则函数)(xfy的图像关于直线xa对称.2、若函数()yfxa为奇函数，则函数)(xfy的图像关于点(,0)a对称.3、定义在R上的函数()fx满足()()faxfax，且方程()0fx恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.C7.关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数)(xfy在区间0,上是递增的,那么函数)(xfy在区间,0上也是递增的;②如果偶函数)(xfy在区间0,上是递增的,那么函数)(xfy在区间,0上是递减的;3C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.1.平移变换（1）函数()yfxa的图象是把()yfx的图象沿x轴向左(0)a或向右(0)a平移a个单位得到的．（2）函数()yfx+a的图象是把()yfx助图象沿y轴向上(0)a或向下(0)a平移a个单位得到的2.翻折变换(1)由()yfx得到|()|yfx，就是把()yfx的图像在x轴下方的部分作关于x轴对称的图像，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变.(2)由()yfx得到(||)yfx，就是把()yfx的图像在y轴右边的部分作关于y轴对称的图像，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换：将()yfx的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到xymfa4.对称变换(1)函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于y轴对称即可得到；()轴yyfxyfx(2)函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于x轴对称即可得到；轴xyfxyfx(3)函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于原点对称即可得到；()原点yfxyfx(4)函数)(yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于直线yx对称得到.直线yxyfxxfy(5)函数)2(xafy的图像可以将函数()yfx的图像关于直线ax对称即可得到；()直线2xayfxyfax.【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1)观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(2)观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数0kyxkx”及函数0kyxkx等）相互转化.(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.12、求一个函数的解析式时，你标注了该函数的定义域了吗？13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？（1）函数y=2)3lg()4(xxx的定义域是；4复合函数的定义域弄清了吗？（2）函数)(xf的定义域是[0,1],求)(log5.0xf的定义域.函数)(xf的定义域是[ba,],,0ab求函数)()()(xfxfxF的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。（3）若函数y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值为m,求m的表达式17、判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。19、你知道函数0axaxy的单调区间吗？（该函数在a,和,a上单调递增；在0,a和a,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（bbabbanaccanloglog,logloglog）22、你还记得对数恒等式吗？（babalog）23、“实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb”，你是否注意到必须0a；当a=0时，“方程有解”不能转化为042acb．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：A3.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0a时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1a时，幂函数的图像下凸；当01a时，幂函数的图像上凸；(3)0a时，幂函数的图像在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1x时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.12yx3yx12yxyx1xy1O