高中数学第2章《参数方程》教案新人教版选修4-4

用心爱心专心参数方程考点要求1了解参数方程的定义。2分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变量t的函数)()(tgytfx(tT)（1）这里T是)(),(tgtf的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点),(yxM。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。2过点),,(000yxp倾斜角为的直线l的参数方程（错误!未找到引用源。）sincos00tyytxx（t为参数）（错误!未找到引用源。）通常称（错误!未找到引用源。）为直线l的参数方程的标准形式。其中t表示),,(000yxp到l上一点),(yxp的有向线段pp0的数量。t0时，p在0p上方或右方；t0时，p在0p下方或左方，t=0时，p与0p重合。（错误!未找到引用源。）直线的参数方程的一般形式是：btyyatxx00（t为参数）这里直线l的倾斜角的正切batan（00900或时例外）。当且仅当122ba且b0时.（1）中的t才具有（错误!未找到引用源。）中的t所具有的几何意义。2圆的参数方程。圆心在点),,(00'yxo半径为r的圆的参数方程是sincos00ryyrxx（为参数）3椭圆12222byax的参数方程。sincosbyax（为参数）4双曲线12222byax的参数方程：tansecbyax（为参数）5抛物线pxy22的参数方程。ptyptx222（t为参数）用心爱心专心例1已知某曲线C的参数方程为221atytx（其中t是参数，Ra）,点M（5，4）在该曲线上。（1）求常数a；（2）求曲线C的普通方程。例2圆M的参数方程为03sin4cos4222RRyRxyx（R0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。例3已知A，B分别是椭圆193622yx的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求∆ABC的重心的轨迹的普通方程。例4求经过点（1，1）。倾斜角为0135的直线截椭圆1422yx所得的弦长。〔解题能力测试〕1已知某条曲线的参数方程为：)1(21)1(21aayaax其中a是参数。则该曲线是（）A线段B圆C双曲线的一部分D圆的一部分2已知某条曲线的参数方程为12322tytx)50(t则该曲线是（）A线段B圆弧C双曲线的一支D射线3实数yx,满足191622yx，则yxz的最大值为：；最小值为。4已知直线l的斜率为1k.经过点)1,2(0M。点M在直线上，以MM0的数量t为参数.则直线l的参数方程为：。5已知直线l的参数方程是cos2sin1tytx（t为参数）其中实数的范围是),2(。则直线l的倾斜角是：。〔潜能强化训练〕1在方程2cossinyx（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）A)7,2(B)32,31(C)21,21(D)0,1(2下列参数方程（t为参数）与普通方程02yx表示同一曲线的方程是（）用心爱心专心AtytxBtytx2coscosCttytx2cos12cos1tanDttytx2cos12cos1tan3直线0943yx与圆sin2cos2yx（为参数）的位置关系是（）A相切B相离C直线过圆心D相交但直线不过圆心。4设直线sin2cos1tytx（t为参数）。如果为锐角，那么直线01:21xll到直线的角是（）A2B2CD5过点（1，1），倾斜角为o135的直线截椭圆1422yx所得的弦长为（）A522B524C2D5236双曲线sectan3yx（为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是：。7参数方程cossin2sinyx（为参数）表示的曲线的普通方程是：。8已知点M（2，1）和双曲线1222yx，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l的方程。9已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l的参数方程为tmytx2（t为参数）。当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为6？１0、求椭圆1121622yx上的点到直线0122:yx的最大距离和最小距离。〔知识要点归纳〕1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。2．面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去用心爱心专心领会。3．在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。解：（1）由题意可知有45212att故12at∴1a（2）由已知及（1）可得，曲线C的方程为221tytx由第一个方程得21xt代入第二个方程得：2)21(xy。即yx4)1(2为所求。〔点评〕参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(tgytfx。根据t的取值范围导出yx,的取值范围。解：（1）依题意得圆M的方程为222)sin2()cos2(RRyRx故圆心的坐标为M（RRR半径为).sin2,cos2。（2）当变化时，圆心M的轨迹方程为sin2cos2RyRx（其中为参数）两式平方相加得2224Ryx。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆由于RRRRRRRRRR2)sin2()cos2(32)sin2()cos2(2222所以所有的圆M都和定圆222Ryx外切，和定圆2229Ryx内切。〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3sin）,点G的坐标为),(yx.依题意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐标公式可知sin13sin330cos223cos606yx由此得：)2(sin1)1(cos22yx得22)2()1(1)1(4)2(22yx即为所求。〔点评〕错误!未找到引用源。本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。错误!未找到引用源。“平用心爱心专心方法”是消参的常用方法。解：由条件可知直线的参数方程是：tytx221221（t为参数）代入椭圆方程可得：1)221(4)221(22tt即0123252tt设方程的两实根分别为21,tt。则525262121tttt则直线截椭圆的弦长是5264)(2122121tttttt〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即btyyatxx00（t为参数）当122ba且b0时才是标准形式。若不满足122ba且b0两个条件。则弦长为d=212)(1ttab四、参数方程〔解题能力测试〕1．C2、A3、5，-54、222212xtyt5、32〔潜能强化训练〕1、C2、D3、C4、B5、B6、6007、21(11)yxx8、490xy9、455m10、maxmin45455dd