高中数学第一章1.1.2余弦定理(一)导学案新人教A版必修5

1．1.2余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．余弦定理的推论cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝135°.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．3C.5D．5答案A2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12答案B解析∵abc，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－1322×7×43＝32.∴C＝π6.3．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．4答案C解析bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.5．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案B解析∵sin2A2＝1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．6．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°答案B解析∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.二、填空题7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.答案120°8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.答案30°解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12∴c＝23.由正弦定理：asinA＝csinC得sinA＝12.∵ac，∴A60°，A＝30°.9．三角形三边长为a，b，a2＋ab＋b2(a0，b0)，则最大角为________．答案120°解析易知：a2＋ab＋b2a，a2＋ab＋b2b，设最大角为θ，则cosθ＝a2＋b2－a2＋ab＋b222ab＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC中，BC＝1，B＝π3，当△ABC的面积等于3时，tanC＝________.答案－23解析S△ABC＝12acsinB＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝13，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－113，sinC＝1213，∴tanC＝－12＝－23.三、解答题11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解由条件知：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－12，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝10.(3)S△ABC＝12absinC＝32.能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．答案3解析∵cosC＝BC2＋AC2－AB22×BC×AC＝22，∴sinC＝22.∴AD＝AC·sinC＝3.14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．