高中数学复习第10章-第7节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用第七节离散型随机变量及其分布列考纲传真1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为，所有取值可以一一列出的随机变量，称为随机变量．随机变量离散型菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列，若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P1，P2，…Pn，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的或称为离散型随机变量X的分布列．概率分布菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)离散型随机变量的分布列的性质①；②＝1.pi≥0(i＝1,2，…，n)p1＋p2＋…＋pn菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用P(X＝1)3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp，其中p＝称为成功概率．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnNCkMCn－kN－MCnN菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从二点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()【解析】由离散型随机变量的含义与分布列的性质(1)错，(2)正确．由两点分布知(3)错；女演员的人数服从超几何分布，(4)正确．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用2．(人教A版教材习题改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点【解析】甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.12C.13D.23菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解析】由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝13.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用4．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51【解析】P(X7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用5．(2014·济南质检)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于()A.910B.710C.35D.12【解析】由分布列的性质，12a＋22a＋32a＋42a＝1，则a＝5.∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝310＋410＝710.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向1离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求随机变量η＝|X－1|的分布列．【思路点拨】先根据概率的性质求m的值，再根据X的值，确定η＝|X－1|的值及相应的概率，最后写出分布列．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【尝试解答】由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.因此η＝|X－1|的分布列为：η0123P0.10.30.30.3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用规律方法11.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用变式训练1随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中，a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解析】由题意知2b＝a＋ca＋b＋c＝1则2b＝1－b，则b＝13，a＋c＝23，所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23.【答案】23菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向2离散型随机变量的分布列【例2】(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【思路方法】(1)利用古典概型的概率公式结合计数原理求解；(2)按照求离散型随机变量的分布列以及期望的方法步骤进行求解．【尝试解答】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747故随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用规律方法21.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．2．求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用变式训练2(2014·济南调研)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解】(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为X3456P5421021514121(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝133.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向3超几何分布【例3】(2014·东北三校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据只任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【思路点拨】(1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气质量达到一级，利用古典概型可求第(1)问中的概率．(2)超标的天数ξ服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式代入求解．【尝试解答】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ