高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法

高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。1.图形变换中的缩放法缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（ax，by）=0（a，b不同时为0）的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a倍，同时将纵坐标变为原来的1/b倍后而得。（1）函数()yafx(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yfax(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到．①y=f(x)xy=f(x);②y=f(x)yy=ωf(x).缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)sin(xAy的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx的图像通过怎样变化后得到)sin(xAy的图像的全部过程。一般有两种变换形式：第一种：先由y=sinx的图像按向量0,平移得到)sin(xy的图像，再将其缩放后形成)sin(xAy的图像。第二种：由xyxysinsin)sin(xAy完成了从y=sinx到xAysin的缩放，将这一过程分为两个步骤，更易于学生理解，最后由xAysin的图像按向量)0,(平移得到)sin(xAy的图像。如图8是函数)32sin(3xy的图像形成过程。2.平移（1）水平平移：函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移||a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移||a个单位即可得到．①y=f(x)h左移y=f(x+h);②y=f(x)h右移y=f(x-h);③y=f(x)h上移y=f(x)+h;④y=f(x)h下移y=f(x)-h.将平面图形F上的每一个点p（x，y）按向量a=（h，k）移动（即：按同一方向，移动同一长度）到点p’（x’，y’），将这些新的点组成图形F’的过程，平移公式为：（x’，y’）=（x，y）+（h，k）。平移思想的应用一般包括以下两种情况：2.1将一个已知的图形按向量),(kh平移后产生新的图形。例1：已知y=f（x）的图形如图1，求)2,1(平移后的图像。分析进行图形的评议，需抓住图形的特征，找到特征点。如图2，去图像上的几个特征点321,,ppp，先将它们按)2,1(移至新位置得相应点',','321ppp的曲线，即为所求，图2（实线部分）。2.2在曲线与方程的问题中，研究F（x，y）=0的曲线可有基本图形f（x，y）=0的曲线怎样平移而得。将F（x，y）=0化为f（x-h，y-k）=0的形式，那么，F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线按向量),(kh进行平移而得。例2：关于函数111xy，下列选项正确的是（）（A）在),1(内单调递增（B）在),1(内单调递减（C）在),1(内单调递增（D）在),1(内单调递减分析可作出函数简图，用数形结合的思想求解。先将函数解析式111xy化为111xy，该方程表示曲线由xy1的曲线按向量),(kh平移而得。然后画出xy1的曲线，最后将图3的图象按)1,1(平移得到图4（实曲线部分）。根据图4可判断，函数在),1(内单调递增，故选（C）。3.利用对称性（1）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于直线yx对称得到．①y=f(x)轴xy=f(x);②y=f(x)轴yy=f(x);③y=f(x)ax直线y=f(2ax);④y=f(x)xy直线y=f1(x);⑤y=f(x)原点y=f(x).通常要研究以下对称轴及对称中心：3.1轴对称型3.1.1点（x，y）与点（x，-y）关于x轴相互对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（x，y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于x轴的对称图形而得。3.1.2点（x，y）与点（-x，y）关于y轴相互对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（-x，y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于y轴的对称图形而得。3.1.3点（x，y）与点（2a-x，y）关于直线x=a对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（2a-x，y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于x=a的对称图形而得。3.1.4点（x，y）与点（x，2a-y）关于直线y=b对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（x，2a-y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于y=b的对称图形而得。3.1.5点（x，y）与点（y，x）关于直线y=x对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（y，x）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于y=x的对称图形而得。以上列举的只是轴对称的几个简单情况，以此为基础，可引导学习能力较强的学生探讨以平面内任一直线为轴的对称变换。3.2中心对称型3.2.1点（x，y）与点（-x，-y）关于原点中心对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（-x，-y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于原点的对称图形而得。3.2.2点（x，y）与点（2a-x，2b-y）关于点（a，b）中心对称，若某曲线的方程F（x，y）=0可化为f（2a-x，2b-y）的形式，那么F（x，y）=0的曲线可由f（x，y）=0的曲线通过作出关于点（a，b）的中心对称图形而得。例3：下列函数中，即为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）（A）xytan（B）)cos(xy（C）)2sin(xy（D）2cotxy分析此题的求解思路，定位为数形结合法的使用。对于函数xytan，一方面，定义域不含区间（0，π）；另一方面，利用)20(tankxxxy且的图象作其关于y轴的对称图象而得xytan的图像（如图5），可以排除。对于函数)cos(xy，它与xycos是同一函数，当),0(x时，为减函数，可排除；而函数)2sin(xy可化为xycos，其图像可由xycos的图像作关于x轴的对称图形而得（如图6），此函数符合题目要求。而函数2cotxy的图像可由2cotxy的图像保留在x轴及上方的部分，通过作出x轴下方的图像关于x轴的对称图象而得，（图7中的实曲线），该函数在区间（0，π）内为减函数。因此，选项（C）为正确选项。在探索与解决数学问题的过程中，数形结合是常用的数学思想之一。学生要在教师的指导下，分析和总结平面直角坐标系下进行图形变换的规律。同时，结合描点法等基本方法的掌握和使用，更加透彻的理解函数知识，函数图像。函数及函数的思想是贯穿整个高中数学的一条主线，是中学数学教学的重要内容之一。函数图像的变换在教材中占有重要的地位。函数图像是函数的一种表达方式，形象的现实了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求阶梯途径、获得问题结果的重要工具。通过描点法和图形变换可以做出高中数学常见的函数图像。函数是高中数学的一个重难点，希望学生可以通过本文章的一些图形变换法更好的理解并掌握函数解题方法。参考文献：[1]中学数学室编著，全日制普通高级中学教科书（试验版）《数学》第一册（下）[M].北京：人民教育出版社[2]全日制义务教育教学课程标准（实验稿）。北京：北京师范大学出版社，2001.3.7[3]高中数学课程标准研制组。普通高中数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2003。