高中数学论文双曲线焦半径应用举例

双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x0，y0)在双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。若点P在右半支上，则|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0－a；若点P在左半支上，则|PF1|=－(ex0+a)，|PF2|=－(ex0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程例1、设F1、F2是双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e=23，P(－328,m)是左支上一点，P到l的距离为d，且d，|PF1|，|PF2|成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d=32|PF1|，又|PF1|=－(ex0+a)=14－a,|PF2|=－(ex0－a)=14＋a,由已知得：d＋|PF2|=2|PF1|，即32(14－a)＋(14＋a)=28－2a得：a=2，c=3，b=5，故双曲线的方程为42x－52y=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例2双曲线92x－162y=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P点纵坐标即可。解：不妨设P在双曲线上右支上，设P(x0，y0)，则|PF1|=ex0+a=3＋35x0，|PF2|=ex0－a=35x0－3，则|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，即：(3＋35x0)2＋(35x0－3)2=100，所以20x=25369，又920x－1620y=1，所以20y=25256，所以点P到x轴的距离为516。评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例3如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当32≤≤43时，求双曲线离心率e的取值范围．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D关于y轴对称．设双曲线的焦距为2c，则A、B、C三点的横坐标分别为－c、c、2c，则点E的横坐标为xE=12cc．根据双曲线焦半径公式，有：|AE|=－(exE＋a)=1ec－)1(2ec－a，|BC|=exc－a=2ec－a，而AC与AE同号，从而||||AEAC=AEAC=1．∴|AC|=1·|AE|=1·[1ec－)1(2ec－a]=ec－2ec－1a，由双曲线的定义有|AC|－|BC|=2a，即(ec－2ec－1a)－(2ec－a)=2a，两边同除以a，并化简整理，得(1－1)e2=2＋1，∴e2=112=－2＋13．由32≤≤43，得3≤11≤4，解得7≤e2≤10．∴7≤e≤10，故所求双曲线离心率e的取值范围是[7，10]．评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式．xyABODCE四、其他问题例4在双曲线122y－132x=1的上支上有三点A(x1，y1),B(26,6),C(x3,y3)与F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF|=ey1－a，|BF|=6e－a，|CF|=ey3－a，由已知得：2|BF|=|AF|＋|CF|，得：y1＋y3=2×6=12。设AC的中点M(x0，6)，其中x0=231xx，又A，C在双曲线上，于是131212131312121323232121xyxy，两式相减得：13(y3－y1)(y3＋y1)－12(x3－x1)(x3＋x1)=0，得：13(y3＋y1)·1313xxyy－12（x3＋x1）=0，得：ACk=1320x，所以AC的垂直平分线方程为：y－6=－0213x(x－x0)，即13x＋x0(2y－25)=0，故经过定点(0，225)。评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例5已知双曲线252x－1442y=1的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l．能否在双曲线的左支上找到一点P，使|PF1|是P到l的距离与|PF2|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由．分析；此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由a=5，c=13，知e=513，ca2=1325．设P(x0，y0)，P到l的距离为d，则|PF1|=－a－ex0=－5－513x0，|PF2|=a－ex0=5－513x0，d=－ca2－x0=－1325－x0．令|PF1|2=d·|PF2|，即(－5－513x0)2=(－1325－x0)(5－513x0)，解得：x0=－1325或x0=－32225．①另一方面，因为P在左支上，所以x0≤－5．②①与②矛盾．故符合条件的P点不存在．评注：一般的，211e是双曲线22ax－22by=1左支上存在P点，使|PF1|2=d·|PF2|成立的充要条件。本题中双曲线离心率e=51321，故符合条件的P点不存在．例如双曲线202x－252y=1的离心率2123e，则这样的P点一定存在。类似的可得：32e是双曲线22ax－22by=1左支上存在P点，使2|PF1|=d+|PF2|成立的充要条件。通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。