高中数学课内练习有效性的探究

高中数学课内练习有效性的探究松江二中胡萍一、问题的提出上海市二期课改高中数学试验教材经历了四年两轮实验现已全面铺开。我们都知道，课程改革的目的是提高学生的素质，促进学生的发展。而如今，我们老师觉得教书越来越辛苦，上课很难把握，总觉得课堂时间太少，恨不得在一节课内把各种类型的题都讲给学生听，有时甚至“加班加点”，而学生学得也很痛苦，整天忙于应付各种各样的作业，根本没有时间去思考一些问题，最终还没有得到应有的发展。这一现状，不得不要求我们来重新审视我们的教学。特别是在全面推进素质教育的现今，在新一轮基础教育课程改革进行之时，讨论新课程背景下课堂教学的有效性就显得尤为重要，显得十分迫切，而课堂教学好比是一个由好多环节组成的链条，其中一个重要的环节就是练习。二、概念的界定练习是数学教学的一个重要组成部分，是掌握数学知识，形成技能技巧的重要手段，是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。数学练习起着形成和发展数学认知结构的作用。本文所指的数学课堂练习主要指用于课堂教学的教材上例题，练习及习题。数学课内练习有效性是指通过课堂数学练习，使学生快速、深刻地巩固知识，熟练技能，发展思维，培养学生综合能力。三、数学课堂练习有效性的必要性一方面，课程改革的目的是提高学生的素质，促进学生的发展。学生的学习活动主要在课堂度过，而课堂教学的重要环节之一是课堂练习。另一方面，现在很多数学课堂练习也是封闭的，练习题大多是一些条件明确，思路单一，结论确定的封闭性习题，这样的练习使学生缺少个性化的思考，长期以来只会使学生养成思维的惰性和依赖性，不利于学生创造性思维的发展。四、数学课堂练习有效性的实施数学课堂练习是一堂数学课的重要组成部分，练习是否有效，将是一节课的点睛之笔。因此教师应根据教材内容，围绕教学目标，精心设计练习的内容和形式，既要整体考虑练习方式，又要考虑练习的具体内容，把握好练习的度和量，从而提高学生的学习效率。基于对练习重要性的认识和练习现状的分析和反思，我对于数学课堂练习的有效性进行了一些探究，主要是通过研究，改变传统的练习观，从“有效”入手，使学生学得既扎实又轻松，实现真正意义上的“减负提质”。下面结合我的一点教学经验和体会谈谈我对数学课堂练习有效性的一点认识。主要结合高一第二学期第5章--三角比及第6章—三角函数来讲，从以下几个方面：第一：剖析课本例题与练习，加深概念、法则的理解和掌握，提高学生解决问题的能力。二期课改高中数学试验教材中的例题与练习题是由上海市二期课改高中数学训练系统研制课题组的老师们探索建设的一个科学的数学训练系统，其具有较高的使用价值。可现在我们的老师，在剖析课本例题与练习这一环节上，功夫花的很少，大多时候凭经验授课，课本例题与练习的使用价值远远没有体现出来。比如书第54页练习3．证明下列恒等式：(1)sin)23cos(以下提供四种证法：证明：方法一：左边=sin)2cos()2cos(右边（其中先后利用了“”和“2”的诱导公式）方法二：左边=sin)2cos()2cos()223cos(右边（其中先后利用了“k2”、“”和“2”的诱导公式）方法三：左边=sin)sin()2cos(右边（其中先后利用了“2”和“”的诱导公式）方法四：左边=sin)sin()sin()23(2sin右边（其中先后利用了“2”、“”和“”的诱导公式）这是一道看似很简单的三角恒等式的证明，可细细琢磨，深入研究，发现其不同的证明角度，包含了很多的诱导公式，起到了举一反三的作用。通过这一练习，复习并巩固了诸多的诱导公式，这样大大提高了学习效率，开阔了学生视野，从而提高学生的解题能力，起到事半功倍的效果。不同角度的证明中，也体现了整体代换等数学思想方法，使学生思维得到了发展。二、客观分析教材，优化教学内容，突出学生的主体地位。新课程倡导教师“用教材”,而不是简单地“教教材”。教师要把学生作为教学的基本出发点，关注学生，创造性地用教材。我们要知道教材只是教师教学的一个凭借，需要教师根据学生的具体情况对教材进行合理的加工、改造，哪些是教学空白需要补充?哪些内容要渗透数学思想方法？教材中所呈现的教学顺序是否需要重新调整？哪些是教学重、难点等等，充分有效地利用教材中的例题和练习，从而提高课堂练习的有效性。如练习册复习题A、10．已知：1010sin,55sin，,都是锐角．求的值解本题之前，学生都已经知道，求角的两大依据先求出这个角的某个三角比值，再求出这个角的范围，从而确定这个角。因此，本题教师首先由学生讨论完成，之后教师进行点评。下面是学生对本题的两种解法：根据条件，一部分学生很容易想到求角的正弦值，如学生1解：1010sin,55sin，,都是锐角10103cos,552cos则2210105521010355sincoscossin)sin(又),0(4或43有一部分学生求了角的余弦值，如学生2解：1010sin,55sin，,都是锐角10103cos,552cos则2210105510103552sinsincoscos)cos(又),0(4这两种解法看上去相似，都依循求角的两大依据先求出这个角的某个三角比值，再求出这个角的范围，从而确定这个角。只是，学生1选择求这个角的正弦值而学生2选择求这个角的余弦值，为什么出现两种结果呢？那到底哪一种解法是正确的呢？教师通过分析，答案就显而易见。因为角角都是锐角且其正弦值确定，则角角都是唯一确定，从而角也是唯一确定的，故学生1的解法是错的。如何避免这种错误呢？选择恰当的三角必就尤为重要了，一般当角的范围所在两个象限时，因选择在这两个象限内符号有正有负的三角比值。通过放手让学生分析、解答，以致出现分歧，再通过老师分析，讲解，使学生得到共识，并掌握了此类题的本质。让学生亲身体验、感悟，大大提高了学生学习的兴趣，也更充分的体现了学生的主体性。类似以上这种题，教材中比比皆是，这就要求我们的老师如何分析教材，应用教材，在例题或练习的讲解中充分体现学生的主体性，提高练习的有效性。三、对于那些易混淆的内容，要引导学生加以辨析。课堂练习要讲究技巧，盲目地练是低效的，练习要有针对性，练习得巧可以达到事半功倍的效果，对于那些易混淆的内容，要引导学生加以辨析。就拿三角来讲，有关三角函数的求解问题中，牵涉到取舍的题型比较多如何进行规范正确的取舍，是学生自主探究时的难点。例如问题：在ABC中，（1）已知：1312cos,53sinBA，求Ccos（2）已知：135cos,53sinBA，求Ccos（3）已知：1312cos,53sinBA，求Ccos对于这三个问题的解决，多数学生是明确解题方向的：即由Asin，求Acos；由Bcos，求Bsin；由BABACcoscoscos=BABAcoscossinsin，求Ccos仿照例题，通过计算，学生答案很快出来了。如下：(1)解：1312cos,53sinBA135sin,54cosBA当54cosA时，656313125413553cosC当54cosA时，653313125413553cosC（2）解：135cos,53sinBA1312sin,54cosBA当54cosA时，651613554131253cosC当54cosA时，655613554131253cosC（3）解：1312cos,53sinBA135sin,54cosBA当54cosA时，653313125413553cosC当54cosA时，656313125413553cosC但是很多同学觉得解答来的过于容易，似乎这三道题中暗藏玄机。此时，教师抓紧时机，进行分析：事实上，在ABC中，Bcos确定了，则B一定唯一确定，Bsin也确定。而Asin确定了，A有可能有两解，Acos也会有两解，可是，A与B在ABC中，必须受到内角和定理得制约，即180BA。因此，以上解答必须进行检查。借助于计算器，求出角的近似值。（1）中4157B，54cosA时，936A，180BA所以两解都舍去。（2）中467B，54cosA时，936A，180BA，所以此解取。54cosA时，1143A，180BA，所以此解舍去。（3）中622B，54cosA时，936A，180BA，所以此解取。54cosA时，1143A，180BA，所以此解取。这三道题，看似相似，又有明显的不同。通过这三道题的求解，绝大多数学生在实践的过程中，看出了问题的异同，了解到取舍的必要。通过教师引导，使问题圆满解决，学生也有成就感，同时提高了解题能力，使这一类题，解起来得心应手。这个问题，还可以进一步探讨，如果不允许使用计算器，那么又该如何解决？四、对难的问题的解决讲求循序渐进，给学生铺设一个通向成功的坡度。例如5.4(4)例14把下列各式化为)0)(sin(AA的形式(1)cos22sin22(2)cos3sin(3)cossinba(ba,都不为0)解（1）45sin45cos22)45sin(45sincos45cossincos22sin22（2）)cos23sin21(2cos3sin又3sin23,3cos21)3sin(2)3sincos3cos(sin2cos3sin（3）)cossin(cossin222222babbaababa可设sin,cos2222babbaa)sincoscos(sincossin22baba=)sin(22ba其中通常取02这一例题，要求非常明确，之前我们刚学过两角和与差的正弦公式，因此化cossinba为)0)(sin(AA即是两角和的正弦公式的逆向使用，难点是如何找到角，可是我们发现，（1）（2）中的数字太特殊，,2223,21是一些特殊角的三角比，这个角容易找到，逆向使用两角和的正弦公式，容易化到)0)(sin(AA的形式。可是从（1）（2）一下跳到（3）一般的形式，学生很难得出规律。如果我们在（3）之前加上①cos4sin3=)cos54sin53(5（3、4、5是常见的勾股数）②cos3sin2=)cos133sin132(13这样学生更容易接受，更符合学生的认知规律，并且把这个公式的本质特征都体现出来了。这道例题渗透了由特殊到一般的数学思想方法，也锻炼了学生逆向的思维。而这一公式，在三角函数中求三角函数周期、值域（最值）等问题中起重要的作用，这一公式的应用也是十分广泛的，为今后的学习作了很好的铺垫。五、“变式”剖析，研究“变题”将激发学生的学习情趣，培养学生的创造能力。如高一数学第二学期P107例2用反正弦函数值表示下列各式中的x：在研究“变题”时，除了严谨性、科学性以外，还应当注意与“主旋律”和谐一致、变化有度、因材而异，防止任意拔高，乱加扩充。以上是我对课内练习有效性的一点认识。记得美国著名数学教育学家波利亚说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”由此可见,教师在选择例题时要严格把关