高中数学选修2-1新教学案3.2立体几何中的向量方法

1ABCDEFxyzMN3.2立体几何中的向量方法（第3课时）【教学目标】1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.【重点】用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.【难点】用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第105页～第106页）1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译“成相应的几何意义.【基础练习】【典型例题】例1如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM,分别在对角线AEBD,上，且AEANBDBM31,31,求证：//MN平面CDE【审题要津】证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c),0,2(caBMABNANM又平面CDE的一个法向量)0,3,0(bAD由0ADNM得到ADNM因为MN不在平面CDE内所以NM//平面CDE【方法总结】例2在正方体1111DCBAABCD中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE.2ABCDEPxyzFA1xD1B1ADBCC1yzEF【审题要津】证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz)0,0,1(DA,)21,,1,1(DE因为)1,21,0(1FD所以0,011DEFDDAFDDEFDDAFD11,DDADE所以FD1平面ADE【方法总结】如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,60ABC，,2,aPDPBaACPA点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(aaEaaDaaB),0,0(,)0,2,23(aPaaC),2,23(aaaCP假设存在点FCPCF),2,23(aaa。aaaCFBCBF,)21(,23又)3,32,0(aaAE，)0,2,23(aaAC则必存在实数21,使得AEACBF21，把以上向量得坐标形式代入得32321213322)21(2323212211aaaaaaa即有AEACBF2321所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握.