高中数学选修2-2公开课教案132《函数的极值与导数》

-1-1．3．2函数的极值与导数(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.三、教学过程：（一）函数的极值与导数的关系1、观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．2、观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f(2)是函数的一个极小值．函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值:f(0)；一个极小值:f(2)．函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值点:(0，f(0))；一个极小值点:(2，f(2))．3、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．函数的极值点xi是区间[a,b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a,b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：Oxaf(a)Oxybf(b)6422Oyx6422Oyxf(0)f(2)Oxf'(a)＝0f'(x)＜0f'(x)＞0aOxyf'(b)＝0f'(x)＜0f'(x)＞0b-2-⑴如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；⑵如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数baxfbaxfbaxf例1求函数3144.3yxx的极值解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令y＝0，解得x1＝－2，x2＝2．当x变化时，y，y的变化情况如下表．因此，当x＝－2时，y极大值＝283，当x＝2时，y极小值＝－43．求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴求导函数f(x)；⑵求方程f(x)＝0的根；⑶检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．例2．求函数xexy2的极值例3求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y，y的变化情况如下表：当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．例4．23)1(22xxy的极值例5．32)1(xxy的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？练习：求函数xexy3的极值极小值极大值y+0－0+y(2,+∞)2(－2,2)－2(－∞,－2)x极小值极大值y+0－0+y(2,+∞)2(－2,2)－2(－∞,－2)x3283410842-44xyO610842-44xyO6极小值0无极值y0－0－y0(－1，0)－1(－，－1)x极小值0无极值y0－0－y0(－1，0)－1(－，－1)x无极值y＋0＋y(1，+)1(0，1)x无极值y＋0＋y(1，+)1(0，1)x321-2-112xy321-2-112xy-3-（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.（四）课后作业