高中数学选修2-2公开课教案2.3《数学归纳法》

-1-数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）第一课时2.3数学归纳法（一）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1.问题1：在数列{}na中，*111,,()1nnnaaanNa，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.（过程：212a，313a，414a，由此得到：*1,nanNn）2.问题2：2()41fnnn，当n∈N时，()fn是否都为质数？过程：(0)f=41，(1)f=43，(2)f=47，(3)f=53，(4)f=61，(5)f=71，(6)f=83，(7)f=97，(8)f=113，(9)f=131，(10)f=151，…(39)f=1601．但是(40)f=1681=412是合数3.问题3：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1.教学数学归纳法概念：①给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.②讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？③提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.2.教学例题：①出示例1：2222*(1)(21)123,6nnnnnN.分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.②练习：求证：2*1427310(31)(1),nnnnnN.③出示例2：设an＝12×+23×+…+(1)nn(n∈N*)，求证：an12(n＋1)2.关键：a1k12(k＋1)2+(1)(2)kk＝12(k+1)2+232kk12(k+1)2+(k+32)-2-＝12(k+2)2小结：放缩法，对比目标发现放缩途径.变式：求证an12n(n＋1)3.小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习：1.练习：教材108练习1、2题2.作业：教材108B组1、2、3题.第二课时2.3数学归纳法（二）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1.练习：已知*()13521,fnnnN，猜想()fn的表达式，并给出证明？过程：试值(1)1f，(2)4f，…，→猜想2()fnn→用数学归纳法证明.2.提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)nn，猜想nS的表达式，并证明.分析：如何进行猜想？（试值1234,,,SSSS→猜想nS）→学生练习用数学归纳法证明→讨论：如何直接求此题的nS？（裂项相消法）小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）②练习：是否存在常数a、b、c使得等式132435......(2)nn21()6nanbnc对一切自然数n都成立，试证明你的结论.解题要点：试值n=1,2,3，→猜想a、b、c→数学归纳法证明2.练习：①已知0(1,2,,)iain，考察111()1iaa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa之后，归纳出对12,,,naaa也成立的类似不等式，并证明你的结论.②（89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式（答案：a=3,b=11,c=10）12222(1)223.....(1)()12nnnnanbnc对一切自然数n都成立？并证明你的结论3.小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.三、巩固练习：1.平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.-3-2.是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（答案：m=36）3.试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)nnnN的邮资.证明：（1）当8,9,10n时，由835,9333,1055可知命题成立；（2）假设(7,)nkkkN时，命题成立.则当3nk时，由（1）及归纳假设，显然3nk时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.小结：新的递推形式，即（1）验证00(),(1),,PnPn0(1)Pnl成立()lN；（2）假设()Pk成立，并在此基础上,推出()Pkl成立.根据(1)和(2)，对一切自然数0()nn,命题()Pn都成立.2.作业：