高中数学解题方法

数学解题方法与技巧一、换元法“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。例1分解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3例2在实数集上解方程：4141433xx例3设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.例4设x,y∈R，且1422yx，求函数f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y的最小值和最大值。二、消元法对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1解方程组：11514yxx+1=yx-y-z=6例2解方程组：y-z-x=0z-x-y=-12例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若ax=by=cz①0111zyx②求证：abc=1三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、比较系数法比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+…+an≡b0xn+b1xn-1+…+bn的充分必要条件是a0=b0,a1=b1,……an=bn。二、特殊值法特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1设二次函数的图象通过点A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。例2以x-1的幂表示多项式x3-x2+2x+2。例3分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根△＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；＜0，当且仅当方程②没有实数根。对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)②它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；△＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。例1已知关于x的二次方程x2+px+q=0有两正根求证：对于一切实数r≥0，方程qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。例2、x,y,z∈R,a∈R+，且x+y+z=a,x2+y2+z2=21a2试确定x,y,z的取值范围。例3、已知a,x为实数，|a|2,求函数y=f(x)=12axxax的最大值与最小值。从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。五、分析法与综合法分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。例1：设a,b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2例2：已知A1,A2,…,An为凸多边形A1A2…An的内角，且lgsinA1+lgsinA2+…+lgsinAn=0，试确定凸多边形的形状。例3：设α，β∈(0,2)，x的一元二次方程f(x)=x2+4ax+3a+1=0的两个根为tg2,tg2，求a的取值范围。六、数学模型法例（哥尼斯堡七桥问题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇合后流入波罗的海。市内办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光。年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1）建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。2o分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。（3）评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少？例2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d正比于车速v（千米/时）的平方与车身长（米）的积，且车距不得小于半个车身长。假定车身长为l（米），当车速为60（千米/时）时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定臬的车速成，可使隧道的车流量最大？例3、（1998年保送生综合试题）渔场中鱼群的最大养殖为m吨。为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲的乘积成正比，比例系数为K（K0）（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域。（2）求鱼群年增长量的最大值。例4：某公司有资金100万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=19516x(M为利润额，x为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配100万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、设x的二次方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根和一负根，求a的范围。2、（1994年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,……,an共n个数据。我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,……an，推出的a的值。3、塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。通过一番调查，确定的需求关系是p=-750x+15000（p为零售商进货的总数量，x为每双鞋的出厂价），并求得工厂生产塑料鞋固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400米3，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米粉的造价为2a元，则如何建造才能使总造价为最小。4、某一信托公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利600万元，假设银行每年复利计息，利率为10%。若需要在三年内收回全部投资，每年至少应该收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。例1：在正整数集N+上解方程：xy+3x-5y=3例2、已知方程x2+(m+1)x+2m-1=0的两个根都是整数，求m的整数值。例3、求所有的实数k，使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。八、分类法分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。用分类法解题，大体包含以下几个步骤：第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，…An;第三步：在子集A1，A2，…An内逐类讨论；第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分