高中数学选修不等式选讲

不等式选讲（高考试题汇编）一、知识点整合：1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)－a；(2)|f(x)|a(a0)⇔－af(x)a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(∑ni＝1a2i)(∑ni＝1b2i)≥(∑ni＝1aibi)2，当且仅当a1b1＝a2b2＝…＝anbn(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．二、典型题型题型一含绝对值的不等式的解法例1(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈－a2，12时去绝对值，利用函数最值求a的范围．解(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是{x|0x2}．(2)∵a－1，则－a212，∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|当x∈－a2，12时，f(x)＝a＋1，即a＋1≤x＋3在x∈－a2，12上恒成立．∴a＋1≤－a2＋3，即a≤43，∴a的取值范围为－1，43.反思归纳这类不等式的解法是高考的热点．(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.(1)当m＝5时，求f(x)0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．题型二不等式的证明例2(2012·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.审题破题(1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明．(1)解因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.反思归纳不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．变式训练2已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b||4＋ab|.题型三不等式的综合应用例3(2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．审题破题(1)|ax＋1|≤3的解集为[－2,1]，对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立问题．解(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2fx2，则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1x－12，－1，x≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k≥1.反思归纳不等式f(a)≥g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于∀a∈R恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x)，再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于∀x∈R不等式恒成立，则g(x)的最大值小于等于f(a)，再解关于a的不等式求a的取值范围．变式训练3已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．变式训练4设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a0)．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤8；(2)若f(x)≥6恒成立，求正实数a的取值范围．三、专题限时规范训练一、填空题1．不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．2．设x0，y0，M＝x＋y2＋x＋y，N＝x2＋x＋y2＋y，则M、N的大小关系为__________．3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．二、解答题5．设不等式|2x－1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．6．若不等式x＋1x|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围．7．(2012·江苏)已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.8．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．9．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．10．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.一、填空题错误!未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））设,,xyzR,且满足:2221xyz,2314xyz,则xyz_______.二、解答题错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲已知函数fxxa,其中1a.(I)当=2a时,求不等式44fxx的解集;(II)已知关于x的不等式222fxafx的解集为|12xx,求a的值.错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲:设不等式*2()xaaN的解集为A,且32A,12A.(1)求a的值;(2)求函数()2fxxax的最小值.1错误!未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径1231MMMMNMNN与路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.四，高考试题汇编1．(2013·重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|a无解，则实数a的取值范围是____．2．(2013·江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．3．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为_______4．（2013江苏）].已知ba0,求证:baabba2233224．(2012·山东)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.5.（2012、江苏）已知实数x，y满足：11|||2|36xyxy，，求证：5||18y．6．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y2·1x2＋4y2的最小值为________．1.(2011山东)不等式|5||3|10xx的解集为（A）[-5.7]（B）[-4,6]（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)2.(2011年高考天津卷理科13)已知集合1|349,|4,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.3.对于实数x，y，若11x，12y，则12yx的最大值为.4.(2011年高考广东卷理科9)不等式130xx的解集是______.4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是5．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲设函数0,3)(axaxxf（1）当1a时，求不等式23)(xxf的解集；(2)如果不等式0)(xf的解集为1xx，求a的值。7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：|21|3xx8．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式11-x2＜的解集为M．（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．9．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为.10．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。12．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。13．（2008广东，14）（不等式选讲选做题）已知Ra，若关于x的方程0|||41|2aaxx有实根，则a的取值范围是。14．（2007广东，14）（不等式选讲选做题）设函数)2(,3|12|)(fxxxf则=；若5)(xf，则x的取值范围是。4．设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于