高中数学重要结论

1高中数学重要结论一．集合与简易逻辑1．摩根律：ðU(A∪B)=(ðUA)∩(ðUB)；ðU(A∩B)=(ðUA)∪(ðUB).2．分配律：（A∩B）∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C).3．结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收率：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A.5．容斥原理：card(A∪B)=cardA+cardB-card(A∩B)；card(A∪B∪C)=cardA+cardB+cardC-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)6．对于条件A和结论B若条件A能推出结论B，则条件A是结论B成立的充分条件；若结论B能推出条件A则条件A是结论B成立的必要条件。二．函数1．函数图像变换：①函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称；②函数y=f(x)的图像与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称；③函数y=f(x)的图像与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称；④函数y=f(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称；⑤函数y=f(x)的图象与函数y=-f-1(-x)的图象关于直线y=-x对称；⑥函数y=f(x)的图象与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称；⑦函数f(x)的图象与函数y=2b-f(x)的图象关于直线y=b对称；⑧函数f(x)的图象与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称；⑨函数y=f(|x|)的图像与函数y=f(x)的图像在y轴右方重合，然后将右方翻折倒左方（即左侧部分与其右侧部分关于y轴对称）。事实上函数y=f(|x|)是偶函数；⑩函数y=|f(x)|的图像与函数y=f(x)的图像在x轴上方重合，然后将原先下方的部分翻折到x轴的上方去；⑪函数y=f(x+a)的图像是将函数y=f(x)的图像向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位；⑫函数y=f(ωx)的图像是将函数y=f(x)的图像上每个点的纵坐标不变横坐标压缩(ω1)或伸长(０＜ω＜1)到原来的1倍；⑬函数y=f(ωx+a)的图像是将函数y=f(ωx)的图像向左(a0)或向右(a0)平移|aω|个单位(ω0)。2．奇函数和偶函数的特点：①奇函数和偶函数的定义域必关于原点对称；②奇函数若在x=0时有定义则必有f(0)=03．对称性及周期性：①若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)恒成立；②若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）对称，则f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2a-x)恒成立；③若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则2|a-b|是函数y=f(x)的一个周期；④若函数y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则2|a-b|是函数的一个周期;4．其他：①函数y=ax的图像当a1时a越大图像越靠近y轴，当0a1时a越小图像越靠近y轴；②函数y=logax的图像当a1时a越大图像越靠近x轴，当0a1时a越小图像越靠近x轴；2③对于logax，当a，x都∈(0，1)或都∈（1，+∞）时logax0，a与x一个∈（0，1）一个∈（1，+∞）时，logax0；④对数换底公式：logaN=loglogmmNa；推论：1°.lognmab=logambn；②logab1·logb1b2·logb2·b3……logbn-2bn-1·logbn-1c=logac⑤对于函数y=ax+bx，当a0，b0时在(0)(0+)，和，上递增；当a0，b0时在-0)（，和(0)，上递减；当a0，b0时在(]ba，-和[)ba，上递增，在[0ba，)和(0]ba，上递减；(事实上当a0，b0时，增减性的分界点即baxx时x的值)；⑥如果函数y=f(x)对于区间(a，b)上的任意x1，x2都有12()2xxf≥12()()2fxfx成立(即弦在图像下方)，则称函数y=f(x)为区间(a，b)上的上凸函数，若都有12()2xxf≤12()()2fxfx成立(即弦在图像上方)，则称函数y=f(x)为区间(a，b)上的下凸（或凹）函数；三．数列a)数列{an}的前n项和为Sn则an=11nnSSS12nn2．等差数列的通项公式形式为an=kn+b,其中k为公差；前n项和公式的形式为Sn=An2+Bn，其中A为公差的一半即2d。由此可得，点（n,Snn）必在同一直线y=Ax+B上3．等比数列的前n项和公式形式为Sn=A－Aqn，其中A=1aq；4．等差数列{an}中，公差d=nmaanm；等比数列{an}中，公比q满足qn-m=nmaa；5．等差数列{an}中，若n为偶数，则SS偶奇=n2d，n2n12aaSS奇偶；若n为奇数，则Ｓ奇－Ｓ偶=a1+12nd=a中，11SnSn奇偶，Sn=nn12a；6．等差数列{an}中，若an=m，am=n，则am+n=0；若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=－(m+n)；37．若数列{an}是公差为d的等差数列，则其依次k项和还成等差数列，且公差为k2d；8．若数列{an}是公比为q(q≠-1)的等比数列，则其依次k项和还成等比数列，且公比为qk；9．若数列满足递推关系：a1=m，an=Aan-1+B（n≥2），其中A,B为非零常数且A≠1，则只需等式两边同时加1BA，即可构造等比数列{an+1BA}，且公比为A，首项为m+1BA；10．若数列{an}满足递推关系：a1=m,an+1=Aan+Bpn，A、B为非零常数，A≠1且A≠p，则只需两边同加BpA-ppn+1，即得等比数列{an+BpA-ppn},且公比为A，首项为m+BpA-pp.注：⑴当A=1时，利用累加的方法求通项；⑵当A=p时，只需等式两边同除以pn+1即得等差数列{anpn}，公差为Bp.11．数列求和公式：⑴1+2+3+…+n=n(n+1)2；⑵1+3+5…+(2n-1)=n2；⑶12+22+32+…n2=16n(n+1)(2n+1)；⑷13+23+33+…+n3=14n2(n+1)2四．三角函数1．降幂公式：sin2x=1cos22；cos2x=1cos22；2．半角正切公式：tan2=1cossin=sin1cos；3．万能置换公式：sin=22tan21tan2；cos=221tan21tan2；tan=22tan21tan2；4．2tancot2csc2sin2，tancot2cot2；5．函数y=Asin(ωx+φ)+B与y=Acos(ωx+φ)+B的对称中心和对称轴：对称中心即使复合角的正弦或余弦等于零的点，对称轴即使复合角的正弦或余弦取得最大值或最小值的直线（即sin(ωx+φ)中的直线ωx+φ=kπ+2，k∈Z，cos(ωx+φ)中的直线ωx+φ=kπ，k∈Z）；6．函数y=Atan(ωx+φ)+B的对称中心：y=Atan(ωx+φ)+B的对称中心是使tan(ωx+φ)=0或不存在的点（即ωx+φ=2k，k∈Z的点）；7．θ的终边越靠近y轴|sinθ|和|tanθ|越大；θ的终边越靠近x轴|cosθ|和|cotθ|越大；8．直线y=x上方的点所对应的角θ满足sinθcosθ，直线y=x下方的点所对应的角θ满足sinθcosθ；直线y=-x上方的点所对应的角θ满足sinθ+cosθ0，直线下方的点所对应的角θ满足sinθ+cosθ0；9．三角形面积公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinBSABC=()()()ssasbsc，其中s=12(a+b+c)。410．对于角α、β，若满足α+β=π4，则(tanα+1)(tanβ+1)=2；若满足α+β=3π4，则(tanα-1)(tanβ-1)=2五．平面向量1．对于平面上任意一点O及点P，A，B，且12OPOAOB，则P，A，B三点共线的充要条件是λ1+λ2=12．△ABC的重心坐标是G(123123)33xxxyyy，；(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))；3．向量a在向量b上的投影为|a|cosab，=||abb；4．与向量a共线的单位向量为||aa；5．设点A(x,y)，B(x,y)，O为坐标原点，S△AOB=12x12y22+x22y12-2x1x2y1y2=12|x1y2-x2y1|6.设O，A，B，C为平面上四点，且λ1→OA+λ2→OB+λ3→OC=o，则S△AOB：S△AOC：S△BOC=λ3:λ2:λ17.S△ABC=(|→AB||→AC|)2-(→AB·→AC)2六．不等式1．利用均值不等式求最值时需注意“一正”,“二定”，“三等”；2．基本不等式：222ab≥2ab≥ab≥2abab=211ab；3．|f(x)|g(x)f(x)-g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)。4．2()0()0()()()0()()gxgxfxgxfxfxgx或；2()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx七．直线和圆1．设点P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点为'('')Pxy，则00022000222()'2()'AAxByCxxABBAxByCyyAB；2．经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系为：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2)；53．经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（不包括C2），特别的两圆方程相减所得的直线方程即为两相交圆公共弦所在直线方程；4．圆与直线的位置关系一般用圆心到直线的距离同半径的大小关系判定；两圆的位置关系用圆心距同半径的和与差的大小关系判定；5．圆的弦长一般用弦心距和半径求得；6．圆上的点到定点P的距离的最大值为点P到圆心的距离加半径，最小值为点P到圆心的距离与半径的差；7．圆外一条直线l与圆上的点的最大距离为圆心到直线l的距离加半径，最小距离为圆心到直线l的距离减半经；8．若点P0(x0，y0)在圆C：x2+y2=r2上则方程x0x+y0y=r2表示圆C在P0处的切线方程；若点P0(x0，y0)在圆C外则方程x0x+y0y=r2表示过P0的切线与圆C的两切点之间的连线（即切点弦所在直线）方程；类似的若点P0在圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2上则方程(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2表示圆C在P0处的切线方程；若点P0(x0，y0)在圆C外则方程(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2表示过P0的切线与圆C的两切点之间的连线方程；9．与直线Ax+By+C=0平行的直线系为Ax+By+C’=0（C’≠C）；与直线Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+C’=0；10．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径的圆的方程为：(x－x1)(x－ｘ2)＋（ｙ－y1）(ｙ－ｙ2)=011．当B0时Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域，Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域；当B0时Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域，Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；八．圆锥曲线1．弦长公式：设直线y=kx+b与二次曲线交于两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则|AB|=22221212121||1()41||kxxkxxxxka