高中数学高考总复习推理与证明习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1．(2010·广东文，10)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、⊗如下：那么d⊗(ac)＝()A．aB．bC．cD．d[答案]A[解析]根据运算、⊗的定义可知，ac＝c，d⊗c＝a，故选A.2．(文)(2010·福建莆田质检)如果将1,2,3，…，n重新排列后，得到一个新系列a1，a2，a3，…，an，使得k＋ak(k＝1,2，…，n)都是完全平方数，则称n为“好数”．若n分别取4,5,6，则这三个数中，“好数”的个数是()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]5是好数，4和6都不是，∵取a1＝3，a2＝2，a3＝1，a4＝5，a5＝4，则1＋a1＝4＝22,2＋a2＝4＝22,3＋a3＝4＝22,4＋a4＝32,5＋a5＝32.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nfx1＋x2＋…＋xnn，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．3B.23C．33D.3[答案]C高考总复习含详解答案[解析]根据f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tanA＋B＋C3＝3tanπ3＝33.故所求的最小值为33.3．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝()A．2B．1C．3D．4[答案]B[解析]由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)如图所示的算法中，令a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合{θ|0θ3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sinθ的概率是()A.13B.12C.23高考总复习含详解答案D.34[答案]A[解析]该程序框图的功能是比较a，b，c的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sinθ，需sinθtanθ，且sinθcosθ，∵当θ∈0，π2时，总有tanθsinθ，当θ∈π2，π时，sinθ0，tanθ0，cosθ0，当θ∈π，3π2时，tanθ0，sinθ0，故输出的结果是sinθ时，θ的范围是π2，π，结合几何概型公式得，输出sinθ的概率为π－π232π－0＝13，故选A.4．(2010·曲师大附中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4[答案]C[解析]设三棱锥的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，可得r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.5．(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝ax－a－x2，C(x)＝ax＋a－x2，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③高考总复习含详解答案B．②④C．①④D．①②③④[答案]D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝ax－a－x2·ay＋a－y2＋ax＋a－x2·ay－a－y2＝14(ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y＋ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y)＝14(2ax＋y－2a－x－y)＝ax＋y－a－(x＋y)2＝S(x＋y)，故①成立．同理可验证②③④均成立．6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4号位子上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()1鼠猴23兔猫41兔猫23鼠猴41猫兔23猴鼠41猴鼠23猫兔4第一次第二次第三次第四次A．编号1B．编号2C．编号3D．编号4[答案]D[解析]根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：高考总复习含详解答案1鼠猴23兔猫41兔猫23鼠猴41猫兔23猴鼠41猴鼠23猫兔4第一次第二次第三次第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第3次换座后的位置一样，即小兔的座位号是4，故选D.[点评]因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用1→2表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：3→1→2→4→3→1→2→4→3…，显见变化周期为4，又2011＝4×502＋3，故经过2011次换座后，小兔位于4号座．7．(2010·山东文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则f(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案]D[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是()A．[－12,24]B．(－12,24)高考总复习含详解答案C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案]D[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a1＋36，a1＋18，a1＋36，14a1＋18出现的机会是均等的，由于当a3a1时，甲胜且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，∵a1＋18a1，a1＋36a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a1＋36a1得a1－12，由14a1＋18a1得，a124，故当－12a124时，四个数全大于a1，当a1≤－12或a1≥24时，有且仅有3个大于a1，故选D.9．(2010·广州市)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为()11121213161314112112141512013012015………………………………A.1140B.1105C.160高考总复习含详解答案D.142[答案]A[解析]第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A.10．(2010·山东淄博一中)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝a，CD＝b(ab)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF＝ma＋nbm＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是()A．S0＝mS1＋nS2m＋nB．S0＝nS1＋mS2m＋nC.S0＝mS1＋nS2m＋nD.S0＝nS1＋mS2m＋n[答案]C[解析]根据面积比等于相似比的平方求解．二、填空题11．(2010·盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a12＋a22＋…＋an2＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)[答案]a1＋a2＋…＋an≤n12．(文)如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD中，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD之间满足的关系式是________．高考总复习含详解答案[答案]S△ABC2＝S△BCO·S△BCD[解析]根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案．(理)(2010·湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．[答案]a3813．(文)(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案]13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析]观察所给等式可以发现：13＋23＝32＝(1＋2)213＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)213＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2……推想：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2∴第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.(理)(2010·广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质：函数y＝x＋1x在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y＝x＋2x在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y＝x＋3x在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数；…………利用上述所提供的信息解决问题：高考总复习含详解答案若函数y＝x＋3mx(x0)的值域是[6，＋∞)，则实数m的值是________．[答案]2[解析]由题目提供信息可知y＝x＋3mx(x0)在(0，3m]上是减函数，在[3m，＋∞)上是增函数，∴当x＝3m时，ymin＝6，∴m＝2.14．(文)(2010·湖南衡阳八中)如图(1)有关系S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则如图(2)有关系VP－A′B′C′VP－ABC＝________.[答案]PA′·PB′·PC′PA·PB·PC[解析]根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即VP－A′B′C′VP－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.简证如下：设B′、B到平面PAC的距离分别为h、H，则hH＝PB′PB.又已知S△PA′C′S△PAC＝PA′·PC′PA·PC，∴VP－A′B′C′VP－ABC＝13S△PA′