高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解一、选择题1．(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(0,1)[答案]B[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋40成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋40，∴t1.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d0⇔点P在直线下方．由题意－2(－2－2t＋4)0，∴t1.(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n4，则点(m，n)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案]A[解析]∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n4知，22m＋n4，∴m＋n2，即m＋n－20，故选A.2．(文)(09·安徽)不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34[答案]C[解析]平面区域如图．解x＋3y＝43x＋y＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83.高考总复习含详解答案∴S△ABC＝12×83×1＝43.(理)(2010·重庆市南开中学)不等式组x＋y≥22x－y≤4x－y≥0所围成的平面区域的面积为()A．32B．62C．6D．3[答案]D[解析]不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC＝12×2×4－12×2×1＝3.3．(文)(2010·西安中学)设变量x，y满足约束条件y≤xx＋y≥2y≥3x－6，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()A．2B．3C．5D．7[答案]B[解析]在坐标系中画出约束条件y≤xx＋y≥2y≥3x－6所表示的可行域为图中△ABC，其中A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z＝2x＋y在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.(理)(2010·哈师大附中模考)已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是()A．－1，－3B．1，－3C．3，－1D．3,1[答案]B[解析]当直线y＝x－z经过点C(1,0)时，zmax＝1，当直线y＝x－z高考总复习含详解答案经过点B(－1,2)时，zmin＝－3.4．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案]B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．5．(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元[答案]D[解析]设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，由题意得3x＋y≤132x＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，高考总复习含详解答案由3x＋y＝132x＋3y＝18，解得A(3,4)．∵－3－53－23，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.6．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x，y满足x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为()A．a≥1B．a≤－1C．－1≤a≤1D．a≥1或a≤－1[答案]C[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.(理)(2010·寿光现代中学)已知变量x，y满足约束条件x＋4y－13≥02y－x＋1≥0x＋y－4≤0，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝()A．－2B．－1C．1D．4[答案]C[解析]由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.高考总复习含详解答案7．(2010·广东五校)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)[答案]B[解析]由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．8．(文)(2010·厦门一中)已知x、y满足不等式组y≥xx＋y≤2x≥a，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝()A．0B.13C.23D．1[答案]B[解析]依题意可知a1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由x＝ay＝x得A(a，a)，由x＋y＝2x＝y得B(1,1)，高考总复习含详解答案∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝13.(理)已知实数x，y满足y≥0y≤2x－1x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7B．5C．4D．3[答案]B[解析]画出x，y满足条件的可行域如图所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．由y＝2x－1x＋y＝m，解得x＝m＋13y＝2m－13，即点A的坐标为m＋13，2m－13.将点A的坐标代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1，即m＝5.故选B.二、填空题9．设变量x，y满足约束条件x－y≥0x＋y≤1x＋2y≥1，则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．[答案]2[解析]可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点A(1,0)时，z取最大值，zmax＝2.高考总复习含详解答案10．(2010·四川广元市质检)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38[答案]116[解析]设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，∵－53－32，∴当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.11．(文)(2010·淮南一中)已知M、N是不等式组x≥1，y≥1x－y＋1≥0x＋y≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．[答案]17[解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为17.(理)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于高考总复习含详解答案直线x＋y＝0对称，点P(a，b)为平面区域kx－y＋1≥0kx－my≤0y≥0内任意一点，则b＋1a－1的取值范围是________．[答案]－1，－12[解析]∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于x＋y＝0对称，∴y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1，而圆心在直线x＋y＝0上，∴－k2＋－m2＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而b＋1a－1表示点P(a，b)与点(1，－1)连线的斜率，∴kmax＝0＋1－1－1＝－12，kmin＝－1，∴所求取值范围为－1，－12.12．若由不等式组x≤my＋nx－3y≥0y≥0(n0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.[答案]－33[解析]根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，∴OA为外接圆的直径，∴直线x＝my＋n与x－3y＝0垂直，∴1m×13＝－1，即m＝－33.三、解答题高考总复习含详解答案13．(2010·辽宁锦州)若x、y满足条件2x＋y－12≤03x－2y＋10≥0x－4y＋10≤0，求z＝x＋2y的最小值，并求出相应的x、y值．[解析]根据条件作出可行域如图所示，解方程组x＋4y－10＝03x－2y＋10＝0，得A(－2,2)．再作直线l：x＋2y＝0，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，z取得最小值2，此时x＝－2，y＝2.14．(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？工人(名)资金(万元)甲420乙85[解析](1)依题意得P甲－P乙＝0.251－P甲＝P乙－0.05，解得P甲＝0.65P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为高考总复习含详解答案4x＋8y≤3220x＋5y≤55x≥0y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线b：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组x＋2y＝84x＋y＝11，得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5