高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1.1空间向量及其运算》导学案

§3.1.1空间向量及其运算学习目标1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材P84~P86，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，a的相反向量记着.叫相等向量.向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A.；当λ＜0时，λa与A.；当λ＝0时，λa＝.3.向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB，AB，试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.ababa.b2.点C在线段AB上，且52ACCB,则ACAB,BCAB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A.+B.=B.+a；⑵加法结合律：(A.+b)+C.=A.+(B.+c)；⑶数乘分配律：λ(A.+b)=λA.+λb．※典型例题例1已知平行六面体''''ABCDABCD（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：ABBC⑴；'ABADAA⑵；1'2ABADCC⑶1(')2ABADAA⑷．变式：在上图中，用',,ABADAA表示'',ACBD和'DB.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2化简下列各式：⑴ABBCCA;⑵;ABMBBOOM⑶;ABACBDCD⑷OAODDC.变式：化简下列各式：⑸OAOCBOCO;⑹ABADDC;⑺NQQPMNMP.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※动手试试练1.已知平行六面体''''ABCDABCD,M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式：⑴111AAAB;⑵11111122ABAD;⑶111111122AAABAD⑷1111ABBCCCCAAA.三、总结提升※学习小结1.空间向量基本概念；2.空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（）A.若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同;B.若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣;C.空间向量的减法满足结合律;D.在四边形ABCD中，一定有ABADAC.2.长方体''''ABCDABCD中，化简'''''AAABAD=3.已知向量a，b是两个非零向量，00,ab是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A.00abB.00ab或00abC.01aD.∣0a∣=∣0b∣4.在四边形ABCD中，若ACABAD,则四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形5.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.空间向量不可以平行移动C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：⑴AM+BN⑵'AN－'MC+'BB2.如图，平行六面体1111ABCDABCD中，点M为AC与的BD的交点，ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与1BM相等的是（）A.1122abcB.1122abcC.1122abcD.1122abc