高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a0)没有公共点，则a的取值范围是()A．(0，2－1)B．(2－1，2＋1)C．(－2－1，2＋1)D．(0，2＋1)[答案]A[解析]圆的方程x2＋(y－a)2＝a2，由题意知圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0距离大于a，即|a－1|2a，解得－1－2a－1＋2，∵a0，∴0a2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3m1B．－4m2C．0m1D．m1[答案]C[解析]根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d＝|1－0＋m|22，∴|m＋1|2，∴－3m1，故所求的m的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C.2．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定[答案]A[解析]圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为d＝|－2sin2α－2cos2α＋1|2sinα2＋2cosα2＝12，圆半径r＝1，∵dr，∴直线l与⊙C相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2B．1＋2C．2＋22D．1＋22高考总复习含详解答案[答案]B[解析]圆心C(1,1)到直线x－y－2＝0距离d＝2，∴所求最大值为d＋r＝2＋1.(理)(2010·山东肥城联考)若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a等于()A．±1B．±24C．±2D．±32[答案]B[解析]圆(x－3)2＋(y－1)2＝4，半径为2，由题意圆心(3,1)到直线的距离是1，∴|3a|a2＋1＝1，∴a＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则()A．l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0B．l的方程为5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．l的方程为5x－12y＋20＝0D．l的方程为5x＋12y＋20＝0[答案]A[解析]圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，圆心C(－1,2)，半径r＝5，点在圆内，设l斜率为k，方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，∵|AB|＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3，∴|－k－2＋4k|k2＋1＝3，∴k＝－512，当斜率不存在时，直线x＝－4也满足．故选A.5．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定[答案]C[解析]∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P12，0，半径为12，∵点P12，0到直线x－y－1＝0的距离为2412，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.高考总复习含详解答案6．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．66条B．72条C．74条D．78条[答案]B[解析]因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a－bC.a＋b2D．a＋b[答案]A[解析]如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.又直线PF与圆相切，∴|FT|＝OF2－OT2＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.－∞，14B.0，14C.－14，0D.－∞，14[答案]A高考总复习含详解答案[解析]由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤a＋b22＝14，故选A.(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组kx－y＋1≥0kx－my≤0y≥0表示的平面区域的面积是()A.14B.12C．1D．2[答案]A[解析]∵直线y＝kx＋1与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，且两直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1－k2＋－m2＝0，∴k＝1m＝－1，∴不等式组化为x－y＋1≥0x＋y≤0y≥0，表示的平面区域如图，故其面积S＝12|OA|·yB＝14.9．(文)若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是()A．两个椭圆B．一个椭圆及双曲线的一支C．两双曲线的各一支D．双曲线的一支[答案]D[解析]设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，∴|C1C|－|C2C|＝3，高考总复习含详解答案故C点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时[答案]B[解析]以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则A(102t,102t)，B(40,0)．当满足下列条件时，B城市处于危险区内，即(102t－40)2＋(102t)2≤302，解得2－12≤t≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为()A.38B.516C.58D.316[答案]B[解析]由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d1，∴|a－2b|a2＋b21，化简得3b－4a0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E34，1，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于A、B两点，则△AOB的面积为______．高考总复习含详解答案[答案]15[解析]圆心(0,0)到直线l距离d＝5，圆半径R＝52，∴弦长|AB|＝2522－52＝65，∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、OB，A、B为切点，则线段AB的长为________．[答案]4[解析]圆(x－3)2＋(y－4)2＝5的圆心C(3,4)，半径为r＝5，|CO|＝5，∴切线长|OA|＝25，由12|OA|·|CA|＝12|OC|·d，得d＝2，∴弦长|AB|＝2d＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为________．[答案]8或－2[解析]设直线2x－y＋c＝0上点P(x0，y0)，按a平移后移到点P′(x，y)，则x＝x0＋1y＝y0－1，∴x0＝x－1y0＝y＋1代入直线2x－y＋c＝0中得2x－y－3＋c＝0，此时直线与圆x2＋y2＝5相切，∴|－3＋c|5＝5，∴c＝8或－2.13．(2010·湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．[答案]－1x2＋(y－1)2＝1[解析]过P、Q两点的直线的斜率kPQ＝b－3－aa－3－b＝a＋b－3a＋b－3＝1，∴线段PQ的垂直平分线l的斜率为－1，线段PQ的中点坐标为a－b＋32，b－a＋32，∴PQ的垂直平分线l的方程为y－b－a＋32＝－x－a－b＋32，即y＝－x＋3，设圆心(2,3)关于直线l：y＝－x＋3的对称点为(a，b)，则高考总复习含详解答案b＋32＝－a＋22＋3b－3a－2＝1，解得a＝0b＝1，故所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案](－13,13)[解析]由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d1，∴|c|131，∴－13c13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．[解析](1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得|－k－2|k2＋1＝2，即k＝2±6，从而切线方程为y＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±6)xx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.解方程组2x＋y＝02x－4y＋3＝0得P点坐标为－310，35.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD，AB＝22，BC＝1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.高考总复习含详解答案(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l交(1)中椭圆于M、N两点，判断是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析](1)由题意可得点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则有