高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。1第讲导数中的恒成立问题时间：年月日刘满江老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试§1.函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0x处的导数是曲线)(xfy在))(,(00xfxP处的切线的斜率，相应的切线方程是.§2.几种常见函数的导数①'C=；②'()nx；③'(sin)x；④'(cos)x；⑤'()xa；⑥'()xe；⑦'(log)ax；⑧'(ln)x§3.导数的运算法则（1）'()uv.（2）'()uv.（3）'()uv.(0)v§4.复合函数求导法则复合函数(())yfgx的导数和函数(),()yfuugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原.§5.函数的极值(1)极值定义：极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极值；极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＞)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极值.(2)判别方法：①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极值；②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极值.三、方法培养既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。2一、单参数放在不等式上型：【例题1】设函数()xxfxee．若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围．解：令()()gxfxax，则()()xxgxfxaeea，（1）若2a，当0x时，()20xxgxeeaa，故()gx在(0,)上为增函数，∴0x时，()(0)gxg，即()fxax．（2）若2a，方程()0gx的正根为214ln2aax，此时，若1(0,)xx，则()0gx，故()gx在该区间为减函数．∴1(0,)xx时，()(0)0gxg，即()fxax，与题设()fxax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是(,2]．说明：上述方法是不等式放缩法．【针对练习1】设函数2()1xfxexax，当0x时，()0fx，求a的取值范围．解：【例题2】设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[0,3]x，都有2()fxc成立，求c的取值范围．解：（1）2()663fxxaxb，∵函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，解得3a，4b．（2）由（1）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(0,1)x时，()0fx；当(1,2)x时，()0fx；当(2,3)x时，()0fx．∴当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当[0,3]x时，()fx的最大值为(3)98fc．∵对于任意的[0,3]x，有2()fxc恒成立，∴298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(,1)(9,)．最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．【针对练习2】已知函数44()ln(0)fxaxxbxcx在1x处取得极值3c，其中a、b、c为常数．（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数()fx的单调区间；（3）若对任意0x，不等式2()2fxc恒成立，求c的取值范围．既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。3解：【针对练习3】已知函数323()12fxaxx()xR，其中0a．若在区间11[,]22上，()0fx恒成立，求a的取值范围．解：既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。4【例题3】已知函数22()ln(1)1xfxxx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若不等式1(1)naen对任意的nN都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值．解：（1）函数()fx的定义域是(1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx．设2()2(1)ln(1)2gxxxxx．则()2ln(1)2gxxx，令()2ln(1)2hxxx，则22()211xhxxx．当10x时，()0hx，()hx在(1,0)上为增函数，当0x时，()0hx，()hx在(0,)上为减函数．∴()hx在0x处取得极大值，而(0)0h，∴()0(0)gxx，函数()gx在(1,)上为减函数．于是当10x时，()(0)0gxg，当0x时，()(0)0gxg．∴当10x时，()0,fx()fx在(1,0)上为增函数．当0x时，()0fx，()fx在(0,)上为减函数．故函数()fx的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)．（2）不等式1(1)naen等价于不等式1()ln(1)1nan，由111n知，11ln(1)ann．设11()ln(1)Gxxx，(0,1]x，则22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxGxxxxxxx．由（1）知，22ln(1)01xxx，即22(1)ln(1)0xxx．∴()0Gx，(0,1]x，于是()Gx在(0,1]上为减函数．故函数()Gx在(0,1]上的最小值为1(1)1ln2G．∴a的最大值为11ln2．小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变量的取值范围．【针对练习4】已知()(1)ln1fxxxx，若2()1xfxxax，求a的取值范围．解：既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。5【针对练习5】若对所有的[,)xe都有lnxxaxa成立，求实数a的取值范围．解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知三次函数32()5fxaxxcxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且)(xf在3x处有极值．（1）求)(xf的解析式；（2）当(0,)xm时，()0fx恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）∵2()310fxaxxc，∴(1)310fac，于是过点(1,8)处的切线为8(310)(1)yacx，又切线经过点(3,0)，∴360ac，①∵)(xf在3x处有极值，∴(3)27300fac，②又(1)58facd，③∴由①②③解得：1a，3c，9d，∴32()539fxxxx．（2）2()3103(31)(3)fxxxxx，由()0fx得113x，23x．当1(0,)3x时，()0fx，()fx单调递增，∴()(0)9fxf；当1(,3)3x时，()0fx，()fx单调递减，∴()(3)0fxf．∴当3m时，()0fx在(0,)m内不恒成立，当且仅当(0,3]m时，()0fx在(0,)m内恒成立，∴m的取值范围为(0,3]．【针对练习6】（07陕西文）已知cxbxaxxf23)(在区间[0,1]上是增函数，在区间(,0)，(1,)上是减函数，又13()22f．（1）求)(xf的解析式；（2）若在区间[0,](0)mm上恒有()fxx成立，求m的取值范围．解：既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。6三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题5】已知函数()(0)afxxbxx，其中a，bR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若对于任意的1[,2]2a，不等式()10fx在1[,1]4上恒成立，求b的取值范围．解：（1）2()1afxx．当0a时，显然()0(0)fxx．这时()fx在(,0)，(0,)上内是增函数．当0a时，令()0fx，解得xa．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：∴()fx在(,)a，(),a内是增函数，在(,0)a，(0,)内是减函数．（2）法一：化归为最值．由（2）知，()fx在1[,1]4上的最大值为1()4f与(1)f的较大者，对于任意的1[,2]2a，不等式0(1)fx在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)ff，即39449abab，对1[,2]2a成立．从而得74b，∴满足条件的b的取值范围是(7,]4．法二：变量分离．∵()10fx，∴10()abxx，即min10()abxx．令()10()agxxx，222()10axagxxx，∴()gx在1[,1]4上递减，()gx最小值为139397()4424444ga，从而得74b，∴满足条件的b的取值范围是(7,]4．或用2(10)axbx，即2(10)2xbx，进一步分离变量得210()bxx，利用导数可以得到210()xx在14x时取得最小值74，从而得74b，∴满足条件的b的取值范围是(7,]4．法三：变更主元．()10fx在1[,1]4上恒成立，即10axbx，()100aaxbx，x(,)aa(,0)a(0,)aa(),a()fx0－0()fx↗极大值↘↘极小值↗既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。7∵1[,1]4x，∴()a在1[,2]2递增，即()a的最大值为2(2)100xbx．以下同上法．说明：本题是在对于任意的[2,2]a，()1fx在[1,1]上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．四、强化练习（A）1、已知函数239()()(24fxxx）对任意mxfxfxx|)()(|],0,1[,2121不等式恒成立，试求m的取值范围。五、训练辅导双参数中的范围均未知型：【例题7】（10湖南理）已知函数2()(,)fxxbxcbcR，对任意的xR，恒有()