高中物理奥赛常用数学公式

高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：1nnnaada是等差数列1,(0,0)nnnnaqaqaa是等比数列,,(,)2abababab等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()nmaandanmd11nnmnmaaqaq(2)前n项和11(1)(1)()222nnnaannnnsnnadnad1(1)2nsdann也是等差数列111(1)1111nnnaaqaqqqqsnaq二.数列求和(1)2222(1)(21)123...6nnnn(2)223332(1)12(12)4nnnn三、三角公式1、和差角公式22sinsincoscossincoscoscossinsintantantan()1tantantantantan()(1tantan)sincossinabab2、倍角公式万能公式22tansin22sincos1tan2222221tancos2cossin2cos112sin1tan23332tantan21tansin33sin4sincos4cos3cos3、半角公式，升降幂公式22221cos1cos1cos1cossinsincostan222221cossin1cos1cos21cos2sincos221cos2cos1cos2sin224、积化和差，和差化积公式sinsin2sincossinsin2sincos2222coscos2coscoscoscos2sincos222211sincos[sin()sin()]coscos[cos()cos()]221sinsin[cos()cos()]2（2）正弦定理2sinsinsinabcRABC(R是ABC外接圆半径)（3）余弦定理2222coscababC222cos2abcCab（4）11sin()()()224ABCaabcSahabCprppapbpcR其中2abcp为半周长四、重要不等式1．222(,0)1122ababababab2．22233(,,0)11133abcabcabcabcabc3．222(,)22abababababR3(,,0)3abcabcabc五、球1、222Rrd2、球面距离lR2222222cos22cosRRABRABrrr（是径度差）3、24SR球内接长方体222224lRabc侧棱两两垂直的三棱锥补形长方体球内接长方体4、体积343VR3SVRRSV球球球球多面体内切球半径：3VrS全六、二项式定理（1）011()nnnnnnnnabCaCabCb（2）22(1)11nnxnxnxcx七、导数1．00000xxfxxfxyfxlimlimxx00fxxfxxx在处可导，注意：在处不可导二、运算法则：21234xuUVUVUVUVUVUUVUVyyuxVV三、导数公式（1）0C（2）1nnxnx（3）xxee（4）xxaalna（5）1(lnx)x（6）11(log)loglnaaxexxa（7）(sin)cosxx（8）(cos)sinxx8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上高中竞赛中会用，不常用12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。高中竞赛的题目，不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点重要15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2高中竞赛需要，重要17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD显然的结论，不需要掌握18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上高中竞赛需要，重要19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD初中竞赛需要，重要20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。不需要掌握23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。不用掌握26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。不用掌握32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。不用掌握35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。不用掌握36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点不用掌握38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。不用掌握39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点不用掌握40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。不用掌41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用掌握42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。不用掌握43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线不用掌握45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线不用掌46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用掌握47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。不用掌握48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-pointcircle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。不用掌握50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。不用掌握51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个