1-4倒格子

§1-4倒格子(Reciprocallattice)主要内容1、倒格子定义2、倒格子与正格子的关系3、倒格子与傅立叶变换1、倒格子定义定义：321aaa,,基矢正格子空间（或正点阵）基矢倒格子空间（或倒易点阵）其中为正格子原胞体积)(321213132321222aaavvaabvaabvaab＝2、倒格子与正格子的关系空间基矢位置矢量正格子空间倒格子空间简称“倒格矢”(Reciprocallatticevector)321aaa,,332211alalalR332211bnbnbnGvaabvaabvaab2131323212222.1数学描述2.2倒格子与正格子基矢间关系)()(jijibaji02i,j=1,2,3之间存在如下关系：jiba和注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。为何要引入“倒格子”概念？倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒格子是由基矢所规定的正格子经过一定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的规律恰是傅里叶变换。321aaa,,晶列晶面晶向指数密勒指数1、该族晶面相对于基矢的取向—法线方向2、该族晶面的面间距d；研究晶格（正格子空间）结构“倒格子”2.3位矢之间关系332211alalalRl332211bnbnbnGn正格子位矢：倒格子位矢：二者的关系：mRGln2(m为整数)；表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。2.4二者原胞体积的关系倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:)()()(*3213332122aaavbbbvvvvavaavavaaaaaaaaaaaaCBABCACBAaaaaaav333332132212113121321132113322)()()(][}]{[}]{[][][)()()(])[]([][所以有依据：321bbb,,证明提示：将表达式代入后，利用矢量运算即可证明。2.5正格子中(h1h2h3)晶面族与倒格矢Gh的关系即沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。332211bhbhbhG证明提示：设晶面ABC是晶面族（h1h2h3）中最靠近原点的晶面，截距分别为思路：能证明同时垂直于和，即能证明垂直于面ABC。332211hahaha,,CACBABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3GGG倒格矢与正格子中密勒指数为（h1h2h3)的晶面族正交。332211bhbhbhG(1)简单证明如下：00332233223322113311331133221133223311332211ababhahabhbhbhCAGababhahabhbhbhCAGhahaCBhahaCAbhbhbhG)()()()(ABCGCBGCAG面ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为hGd2证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d)。hhhhhGGbhbhbhhaGGOAdGOAGOAOAd2133221111)(coscos又ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Ghd3、倒格子与傅立叶变换同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换。332211alalalx)(xVx设晶格中某点的某一物理量表示如下：)(332211alalalxV晶格的周期性GalalalxGiGGxGiGeVeV)(332211傅里叶变换1332211)(alalalGiemalalalG2332211)((m为整数)；)(为整数mmRG2显然有：即或者所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。原胞里任一点傅里叶级数宗量晶格周期性函数为整数——倒格子空间是正格子的倒易空间——周期性函数可以展开为傅里叶级数由倒格子基矢得到代入——积分在一个原胞中进行得到123123,,1231()hhhiGxhhhVdxeVxaaa123123123,,,,()nnniGxhhhhhhVxVe小结每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；对于给定的正格子，基矢的选择是不唯一的，相应的倒格子基矢的选择也是不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的；同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换；321aaa,,321bbb,,小结晶体的显微图象真实晶体结构的映象；晶体的衍射图象倒格子（倒易点阵）的映象；晶体点阵(正格子)的格点对应原子、分子或其集团倒格子中的格点对应晶体中的一族晶面晶体点阵(正格子)的格点位于位置空间或坐标空间内的,其线度的量纲为[长度]倒格子中的格点在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶空间内的描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间同样的量纲。倒格子空间又称状态空间或简称为k空间——倒格子与正格子间的关系1)正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积3(2)*2）正格子中一簇晶面和正交——可以证明1230hhhGCA1230hhhGCB与晶面族正交晶面方程3）倒格子矢量为晶面的法线方向各晶面到原点的距离面间距1122332dhbhbhbijjiba2aaaaiaa1jaa2jaaiaa21ijjibaπ2)ji(π2)(0ji例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。0π22111babaπ202212babajabiabπ2π221ijjibaπ2)ji(π2)(0jijaaiaa21aπ2aπ22211bhbhKh倒格是边长为的正方形格子。aπ2例2：证明体心立方的倒格是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：kjiaakjiaakjiaa222321332121aaaaΩ22222232aaaaaakjiaa222222222222aaaakaaaajaaaaikaja2222213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb321π2aaΩbkajaaa222232332121aaaaΩkjakjaaπ222π223jiabπ23kiabπ22倒格矢：jiabπ23kjabπ21kiabπ22同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为232221321hhhadhhh证明：321π2hhhhdK由得：321321π2hhhhhhKd简立方：,,,321kaajaaiaaiaaaΩbπ2π2321jaaaΩbπ2π2132kaaaΩbπ2π2213法一：iabπ21jabπ22kabπ23232221hhha321321π2hhhhhhKd232221π2321hhhaKhhh332211321bhbhbhKhhhkhjhiha321π2iabπ21jabπ22kabπ23法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为，321,,aaa332211,,hahahadnX由平面方程得：dnhadnhadnha332211dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cosdahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos对于立方晶系：aaaa321321aaa且：dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos1,cos,cos,cos322212nanana12122122122hahahad232221321hhhadhhh